sin,cos,tan○°で手計算で計算できるものまとめ

上野竜生です。三角関数のうち○°が手計算で計算できるものをまとめてみました。まずは結果のみをご覧ください。なお90°まで求めておけば91°以上は最後に示す公式から導くことができるので90°までとします。

手計算で計算できる三角比

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一覧表

(°は省略してますが度数法です)

\( \theta \) \( \sin{\theta} \) \( \cos{\theta} \) \( \tan{\theta} \)
 0  0 1 0
 15  \( \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \)  \( \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \)  \( 2-\sqrt{3} \)
 18  \( \frac{\sqrt{5}-1}{4} \)  \( \frac{}{} \)  \( \frac{}{} \)
 22.5  \( \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} \)  \( \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} \)  \( \sqrt{2}-1 \)
 30  \(\frac{1}{2}\)  \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)  \( \frac{\sqrt{3}}{3} \)
 36  \( \frac{}{} \)  \( \frac{1+\sqrt{5}}{4} \)  \( \frac{}{} \)
 45  \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) 1
 54  \( \frac{1+\sqrt{5}}{4} \)  \( \frac{}{} \)  \( \frac{}{} \)
 60  \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)  \( \frac{1}{2} \)  \( \sqrt{3} \)
 67.5  \( \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} \)  \( \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} \)  \( \sqrt{2}+1 \)
 72  \( \frac{}{} \)  \( \frac{\sqrt{5}-1}{4} \)  \( \frac{}{} \)
 75  \( \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \)  \( \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \)  \( 2+\sqrt{3} \)
 90  1  0  -

その気になればここから加法定理でsin3°やcos40.5°なども出せますがcos18°が汚いのでここでは手計算で出せないものとします(出題されたのを見たことがありません)

90°から180°については次の公式で求めます。

\( \sin{(90°+\theta)}=\cos{\theta} \)

\( \cos{(90°+\theta)}=-\sin{\theta} \)

\(\displaystyle \tan{(90°+\theta)}=-\frac{1}{\tan{\theta}} \)

180°から360°については次の公式で求めます。

\( \sin{(180°+\theta)}=-\sin{\theta} \)

\( \cos{(180°+\theta)}=-\cos{\theta} \)

\( \tan{(180°+\theta)}=\tan{\theta} \)

なお,45°まで知っていれば46°から90°は次の公式で求められます。

\( \sin{(90°-\theta)}=\cos{\theta} \)

\( \cos{(90°-\theta)}=\sin{\theta} \)

\(\displaystyle \tan{(90°-\theta)}=\frac{1}{\tan{\theta}} \)

ここからは求め方も書いていきます。

正三角形や直角二等辺三角形から三角比を求める

30°,60°の求め方

正三角形を2つにわけた図形をイメージします。この三角形は30°,60°,90°の三角形で辺の長さの比が1:2:\( \sqrt{3} \)です。これを使って三角比で求めます。

45°の求め方

直角二等辺三角形をイメージします。この三角形は45°,45°,90°の三角形で辺の長さの比が1:1:\( \sqrt{2} \)です。これを使って三角比で求めます。

15°,75°の求め方

15°=45°-30°,75°=45°+30°を使い,三角関数の加法定理を使います。

22.5°,67.5°の求め方

\( 22.5°=\frac{45°}{2} , 67.5°=\frac{135°}{2} \)を使い,半角の公式を用います。覚えてなければ加法定理でも良いでしょう。

例題: \( \tan{67.5°} \)を求めよ。

\( \tan{67.5°}=X>0 \)とすると加法定理より

\(\displaystyle \tan{(67.5°+67.5°)}=\frac{2\tan{67.5°}}{1-\tan^2{67.5°}} \)

つまり,

\( \displaystyle -1=\frac{2X}{1-X^2} \)

\( X^2-1=2X \)

\( X^2-2X-1=0 \)を解いて\( X=1\pm \sqrt{2} \)

X>0より\( \tan{67.5°}=1+\sqrt{2} \)

18°,36°などの求め方

54°,72°は上の45°以上のやり方で求められるので実質18°と36°のみ示せばOKです。

図形的に解くこともできますが代数的な方法で紹介します。

\( \sin{18°} \)について

\( \alpha=18°\)とすると\( \sin{3\alpha}=\cos{2\alpha} \)となり,

2倍角・3倍角の公式を用いるとすべて\( \sin{\alpha} \)のみの式で書けます。

ここから因数分解して2次方程式を解けばできます。

\( \cos{36°}\)について

\( \beta=36°\)とすると\(\cos{3\beta}=-\cos{2\beta} \)となります。

2倍角・3倍角の公式を用いると

\( 4\cos^3{\beta}-3\cos{\beta}=-2\cos^2{\beta}+1 \)

\( X=\cos{\beta} \)とおくと\( 4X^3+2X^2-3X-1=0 \)

因数分解すると\( (X+1)(4X^2-2X-1)=0 \)

X≠-1より\( 4X^2-2X-1=0 \)

これを解くと\(\displaystyle X=\frac{1 \pm \sqrt{5}}{4} \)

X>0より\(\displaystyle X=\cos{36°}=\frac{1+\sqrt{5}}{4} \)

できれば暗記しておいたほうがいいですが導出できることが重要です。

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