面積の求め方(積分)

上野竜生です。面積を求める方法を学習しましょう。

積分による面積の立式のやり方

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基本

x=a,b(a<b)とy=f(x),x軸で囲まれた部分の面積は
\( \displaystyle \int_a^b |f(x)| dx \)

f(x)dxは縦の長さが|f(x)|,横の長さが微小dxである長方形の面積と考えられます。それをx=aからx=bになるまで足しあわせたもの(∫)と考えることができます。

基本2: y=f(x)とy=g(x),x=a, x=bで囲まれた部分の面積は
\( \displaystyle \int_a^b |f(x)-g(x)|dx \)
特にf(x)≧g(x)なら絶対値を外して計算できる。

この「上の関数から下の関数を引く」というのが重要です。

例題:y=x2とy=-2x2+3で囲まれた部分の面積を求めよ。

答えまずは交点のx座標を求める。

\( x^2=-2x^2+3 \)よりx=±1

-1≦x≦1では-2x2+3のほうが上にあるので求める面積は
\( \displaystyle \int_{-1}^2 (-2x^2+3)-x^2 dx \\ \displaystyle =\int_{-1}^1 (-3x^2+3)dx \\ \displaystyle =[-x^3+3x]_{-1}^1=4 \)

どちらが上かややこしい場合は絶対値をつけておけばいいのですが最終的に絶対値は外すのでやはり上か下か正確に求めておきましょう。

応用パターン yで積分する

公式のxとyを入れ替えただけです。

y=a,b(a<b)とy軸,x=f(y)で囲まれた部分の面積は
\( \displaystyle \int_a^b |f(y)| dy \)

あまり出題されませんし,すぐに思い出せると思います。

応用パターン 媒介変数表示

x=x(t) , y=y(t)で表される曲線とx=a,b,x軸で囲まれる部分の面積は
\( S=\displaystyle \int_a^b y dx \\= \displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} y(t) x'(t)dt \)
ただしα,βはx(α)=a ,x(β)=bを満たす値

これも比較的すぐに計算できると思います。x=a,bをα,βに直すこと,yをy(t)にすることは比較的覚えてるのですが最後のx'(t)を忘れないように注意してください。dxとdtは等しくありません。

x=x(t)より\( \frac{dx}{dt}=x'(t) \)であり,dx=x'(t)dt です。

応用パターン 極座標表示

極座標の場合は長方形の足し合わせではなく扇形の足し合わせと考えますが考え方を覚えるよりは公式を覚えるほうが早いので公式を紹介します。

r=r(θ),θ=a,b(a<b)で囲まれる部分の面積は
\( \displaystyle \int_a^b \frac{1}{2}r(\theta)^2 d\theta \)

どうしても忘れた場合は媒介変数表示

\( \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x=r(\theta)\cos{\theta} \\ y=r(\theta)\sin{\theta} \end{array} \right.\end{eqnarray}\)

として計算することもできます。なので諦める必要はありません。(ふつう計算量は多くなってしまいます)

以上で面積の求め方はかなりマスターできたと思います。最初の立式ができればあとは計算するだけです。そこで行き詰まる人は計算力を上げましょう。

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