面積の求め方（積分）｜数学の偏差値を上げて合格を目指す

上野竜生です。面積を求める方法を学習しましょう。

$積分による面積の立式のやり方$

基本

x=a,b(a<b)とy=f(x),x軸で囲まれた部分の面積は
$ \displaystyle \int_a^b |f(x)| dx $

f(x)dxは縦の長さが|f(x)|,横の長さが微小dxである長方形の面積と考えられます。それをx=aからx=bになるまで足しあわせたもの（∫）と考えることができます。

基本２：　y=f(x)とy=g(x),x=a, x=bで囲まれた部分の面積は
$ \displaystyle \int_a^b |f(x)-g(x)|dx $
特にf(x)≧g(x)なら絶対値を外して計算できる。

この「上の関数から下の関数を引く」というのが重要です。

例題：y=x²とy=-2x²+3で囲まれた部分の面積を求めよ。

答えまずは交点のx座標を求める。

$ x^2=-2x^2+3 $よりx=±1

-1≦x≦1では-2x²+3のほうが上にあるので求める面積は
$ \displaystyle \int_{-1}^2 (-2x^2+3)-x^2 dx \\ \displaystyle =\int_{-1}^1 (-3x^2+3)dx \\ \displaystyle =[-x^3+3x]_{-1}^1=4 $

どちらが上かややこしい場合は絶対値をつけておけばいいのですが最終的に絶対値は外すのでやはり上か下か正確に求めておきましょう。

応用パターン　yで積分する

公式のxとyを入れ替えただけです。

y=a,b(a<b)とy軸，x=f(y)で囲まれた部分の面積は
$ \displaystyle \int_a^b |f(y)| dy $

あまり出題されませんし，すぐに思い出せると思います。

応用パターン　媒介変数表示

x=x(t) , y=y(t)で表される曲線とx=a,b，x軸で囲まれる部分の面積は
$ S=\displaystyle \int_a^b y dx \\= \displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} y(t) x'(t)dt $
ただしα,βはx(α)=a ,x(β)=bを満たす値

これも比較的すぐに計算できると思います。x=a,bをα，βに直すこと，yをy(t)にすることは比較的覚えてるのですが最後のx'(t)を忘れないように注意してください。dxとdtは等しくありません。

x=x(t)より$ \frac{dx}{dt}=x'(t) $であり，dx=x'(t)dt です。