正射影ベクトル

上野竜生です。正射影ベクトルを求めます。正射影ベクトルとは何か?については下の問題の\(\vec{OH} \)のことなのでそれを参照してください。高校範囲で簡単に求められますよ。

正射影ベクトル

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問題

三角形OABにおいて点Bから辺OAにおろした垂線の足をHとする。
\(\vec{OA}=\vec{a} , \vec{OB}=\vec{b} \)とするとき\(\vec{OH} \)を\(\vec{a},\vec{b} \)を用いた式で表せ。

O,H,Aは一直線上にあるので\(\vec{OH}=k\vec{OA} \)とおける。∠AOB=θとする。

正射影ベクトル

<解1>\(|\vec{OH}| \)に注目する。

\( |\vec{OH}|=k|\vec{a}|=|\vec{b}|\cos{\theta} \)
∴\(\displaystyle k=\frac{|\vec{b}|\cos{\theta}}{|\vec{a}|} \)
内積の定義より\(\vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos{\theta} \)だから
\(\displaystyle |\vec{b}|\cos{\theta}=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|}\)
よって\(\displaystyle k=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|^2} \)となり
\(\displaystyle \vec{OH}=\left(\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|^2} \right) \vec{a} \)

<解2>\(\vec{OH}\cdot \vec{BH}=0 \)を利用する。

\(\vec{OH}⊥\vec{BH} \)より\(\vec{OH} \cdot \vec{BH} = k \vec{a} \cdot (k\vec{a}-\vec{b})=0 \)
∴\(k^2 |\vec{a}|^2-k\vec{a} \cdot \vec{b} =0 \)
k≠0より\(\displaystyle k=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|^2} \)
∴\(\displaystyle \vec{OH}=\left(\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|^2} \right) \vec{a} \)

どちらの方法でも簡単に計算できますね。

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