三角形の成立条件と鋭角・直角・鈍角三角形の判定

上野竜生です。3辺の長さが与えられたとき三角形が成立するのか,成立するなら直角三角形か鋭角三角形か鈍角三角形かを判定することについて考えましょう。

三角形の成立条件・鈍角/鋭角の判定

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言葉の意味

鋭角三角形:すべての角が鋭角(90°未満)である三角形

直角三角形:1つの角が直角(90°)である三角形

鈍角三角形:1つの角が鈍角(90°より大きい)三角形

暗黙の了解と使う知識の確認

以下では三角形の3辺の長さをa,b,c(a≦b≦c)とする。

三角形の辺と角についての暗黙の了解

知識:余弦定理
\( \displaystyle \cos{C}=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \)

知識:∠A,B,Cの中で1番大きいのはC(つまりaとbで挟まれた角)

三角形が成立するなら-1<cosC<1

Cが鋭角 ⇔ 0<cosC<1
Cが直角 ⇔ cosC=0
Cが鈍角 ⇔ -1<cosC<0

三角形の成立条件

-1<cosC<1を変形する。

\( \displaystyle -1<\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}<1 \)
\( -2ab<a^2+b^2-c^2<2ab \)
\( a^2-2ab+b^2<c^2<a^2+2ab+b^2 \)
\( |a-b|<c<a+b \)

左側の不等式はb-a<cとなるがこちらは必ず成立する。(つまりcosC≧1にはならない)

よって三角形の成立条件はc<a+bであること。

a≦b≦cを考えない場合,a,b,cを入れ替えた式
b<c+aやa<b+cも考える必要がありますがa≦b≦cと仮定すればこの2つは明らかですのでc<a+bでよくなります。

直角三角形の条件

cosC=0を変形する。

\(\displaystyle \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=0\)より

直角三角形の条件は\( a^2+b^2=c^2\)であること。

これは三平方の定理から明らかですね。

鋭角三角形の条件

すべての角が90°より小さいということは1番大きい∠Cが90°より小さければ良いのでcosC>0を変形する。(cosC≧1にはならないのでcosC>0のみで良い)

\(\displaystyle \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}>0\)より

鋭角三角形の条件は\( a^2+b^2>c^2 \)であること。

鈍角三角形の条件

-1<cosC<0を変形する。

\(\displaystyle -1<\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}<0\)より

鈍角三角形の条件は\( a^2+b^2<c^2<(a+b)^2 \)であること。

右側の不等式は三角形の成立条件です。

まとめると・・・

最大辺の長さをcとするときc2

・a2+b2より小さい→鋭角三角形
・a2+b2と等しい→直角三角形
・a2+b2より大きく(a+b)2より小さい→鈍角三角形
・(a+b)2以上である→三角形は成立しない。

例題1:3辺の長さが次の図形は次のうちどれになるか?
ア 三角形が成立しない
イ 鋭角三角形である
ウ 直角三角形である
エ 鈍角三角形である
(1) 3,4,5
(2) 3,4,8
(3) 5,5,7
(4) 3,7,8

答え(1) 32+42=52より直角三角形。ウ

(2) 8<3+4が成立しないので三角形が成立しない。ア
(3) 52+52>72なので鋭角三角形。イ
(4) 8<3+7なので三角形が成立し,32+72<82なので鈍角三角形。エ

例題2:3辺の長さが5,13,xである三角形が鈍角三角形となるようなxの値の範囲を求めよ。

今度は辺の大小関係もわからない点に注意です。場合分けして考えましょう。

答えx≦13のとき,最大辺の大きさは13

三角形の成立条件より13<5+x ∴x>8

鈍角三角形より132>52+x2 ∴x2<144

よって8<x<12

これはx≦13を満たす。

x>13のとき,最大辺の大きさはx

三角形の成立条件よりx<5+13 ∴x<18

鈍角三角形よりx2>52+132 ∴x2>194

よって\( \sqrt{194}<x<18 \)

これはx>13を満たす。

以上より8<x<12, \( \sqrt{194}<x<18\)

複雑な割に比較的簡単に復元でき,しかも滅多に出題されないのであまり重点的にやる必要はありません。

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