三角方程式の解の個数 tの個数とxの個数の対応を考えよ!

上野竜生です。三角関数の方程式の解の個数を求める問題ではt=(三角関数)とおくのが鉄則ですがtとxは1対1対応しません。そのことも考慮した解法を勉強しましょう。

三角方程式の解の個数

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tとxの対応に注意!

たとえば0≦x<2πのとき,(sinxの関数)の実数解の個数は何個?

のようなタイプではt=sinxとおくのが鉄則です。大体の問題ではこうするとtの2次式が出ることが多いです。(もちろん3次式とかもあり得ます)

ここで単純に判別式で個数を求めるだけでは不十分です。求めるのはxの個数であり,tの個数ではありません。

0≦x<2πのとき-1<t<1ならばsinx=tの解は2個。t=±1ならばsinx=tの解は1個。それ以外は0個です。なのでどの範囲なら何個というのを先に調べておき,tの2次式がどの範囲に何個もつかまで丁寧に調べる必要があります。少し面倒ですが次の例題で確認しましょう。

例題

\(0<x<2\pi \)とするとき,\(\sin^2{x}-\cos^2{x}-\sin{x}-a=0\)の実数解の個数をaの値によって場合分けせよ。

t=sinxとおいてtの式としてみることと,定数分離して考えるのが基本です。
ただしtの個数ではなくxの個数なのでt1個につきxが何個対応するかも考える必要があります。
x=0もx=2πも定義域に入っていないのでt=-1,1以外にもt=0のときもイレギュラーな対応になります。

答えt=sinxとおく。
tの個数とxの個数の関係は
-1<t<0 , 0<t<1のときt1つにつきxが2個。
t=-1,0,1のときt1つにつきxが1個。
それ以外はt1つにつきxが0個対応する。
tとxの関係
\(\sin^2{x}-\cos^2{x}-\sin{x}=t^2-(1-t^2)-t=2t^2-t-1\)
\(f(t)=2t^2-t-1=2(t-\frac{1}{4})^2-\frac{9}{8} \)とおく。
y=f(t) (-1≦t≦1)のグラフとy=aのグラフがどの範囲に何個解をもつかを調べる。例題の関数のグラフグラフより
a>2のときtは-1≦t≦1に実数解をもたない。
a=2のときt=-1を解にもつ
0<a<2のとき-1<t<0の範囲に解を1つもつ
a=0のとき-1<t<0の範囲に1つとt=1をもつ
-1<a<0のとき-1<t<0と0<t<1に1つずつもつ
a=-1のときt=0と0<t<1に解を1つもつ
\( -\frac{9}{8}\)<a<-1のとき0<t<1に解を2つもつ
\(a=-\frac{9}{8}\)のとき0<t<1に解を1つもつ
\(a<-\frac{9}{8} \)のとき解をもたない
これとxとの関係を対応させると答えは
\(a>2 , a<-\frac{9}{8} \)のとき0個
\(a=2 \)のとき1個
\(0<a<2,a=-\frac{9}{8}\)のとき2個
\(a=0,a=-1\)のとき3個
\(-1<a<0,-\frac{9}{8}<a<-1\)のとき4個

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