三角形の面積の三角比を用いた公式

 上野竜生です。三角形の面積を三角比で解く方法について考えていきたいと思います。

三角形の面積(三角関数編)

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三角形の面積の公式

2辺の長さがa,bでその間の角がθである三角形の面積をSとするとき
\( S=\frac{1}{2} ab \sin{\theta} \)

三角形の面積

[証明]

bsinθは底辺をaと見たときの三角形の「高さ」であるから底辺×高さ÷2の三角形の面積の公式に当てはめれば得られる。

具体的な問題で練習しましょう。「2辺とその間の角」以外の情報しかわからない場合はまず三角形の辺や角が与えられたとき残りの辺や角を求める方法のページで2辺とその間の角を求めてから面積を計算します。

例題1 AB=6, AC=7, ∠A=45°の三角形の面積はいくらか?

公式通り計算するだけです。

答え\(\displaystyle  S=\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 7 \cdot \sin{45°}=\frac{21\sqrt{2}}{2}\)

例題2 3辺の長さが13,14,15である三角形の面積はいくらか?

発展事項としてヘロンの公式を習うかもしれませんがとりあえず今回の公式で求めます。

3辺の長さ→余弦定理で1つ角を求める→2辺とその間の角から面積を求める流れになります。

答えAB=13 , AC=14 , BC=15とする。余弦定理より

\( \displaystyle \cos{A}=\frac{13^2+14^2-15^2}{2\cdot 13 \cdot 14}=\frac{140}{2\cdot 13 \cdot 14}=\frac{5}{13} \)

三角関数の相互関係より\(\displaystyle \sin^2{A}=\frac{144}{169} \)

sinA>0だから\(\displaystyle \sin{A}=\frac{12}{13} \)

よって面積は

\(\displaystyle \frac{1}{2} \cdot  13 \cdot 14 \cdot \sin{A}=84 \)

この三角形は意外と有名です。高校3年間で必ず登場するといっても過言ではありません。

最後はセンター試験定番の応用問題を出します。

例題3: 円に内接する四角形ABCDがAB=1, BC=8 , CD=9, DA=2を満たすときこの四角形の面積を求めよ。

四角形の面積は補助線(対角線)をひいて2つの三角形に分割することで求められます。あとは「間の角」を求めればOKです。円に内接することから「向かい合う角の和は180°」であることを使います。

例題の図

答え∠A=θとおく。四角形ABCDは円に内接するから向かい合う角の和は180°であり,∠C=180°-θ

△ABDにおいて余弦定理より

BD2=AB2+DA2-2AB・DA・cosθ=5-4cosθ

△CBDにおいて余弦定理より

BD2=BC2+CD2-2BC・CD・cos(180°-θ)=145+144cosθ

よって

5-4cosθ=145+144cosθとなりcosθ=\( -\frac{35}{37} \)

sinθ>0だから三角関数の相互法則より\(\sin{\theta}=\frac{12}{37} \)

よって△ABDの面積は

\( \frac{1}{2} AB \cdot DA \sin{\theta} = \frac{12}{37} \)

△CBDの面積は

\( \frac{1}{2} BC \cdot CD \sin{(180°-\theta)}=\frac{12\cdot 36}{37} \)

よって四角形ABCDの面積=△ABD+△CBD=12

これもブラーマグプタの公式という公式があります。ですが普通教科書に載らないのでこの方法を紹介しました。

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