領域の超基本

上野竜生です。領域の問題の基本事項を紹介します。

領域の基本

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y>f(x)などのタイプ

y=f(x)のグラフ(*)をかいた後

y>f(x)・・・(*)の上側 [yが大きい側]

y<f(x)・・・(*)の下側 [yが小さい側]

等号を含めば境界を含む。等号を含まなければ境界も含まない

y>f(x)の領域

x>kタイプ

x=kのグラフ(*)をかいた後

x>k・・・(*)の右側 [xが大きい側]

x<k・・・(*)の左側 [xが小さい側]

等号を含めば境界を含む。等号を含まなければ境界も含まない

x>kの領域

円(x-a)2+(y-b)2>r2タイプ

(x-a)2+(y-b)2=r2のグラフ(*)をかき

(x-a)2+(y-b)2>r2・・・(*)の外側 [半径r=中心との距離が大きい側]

(x-a)2+(y-b)2<r2・・・(*)の内側 [半径r=中心との距離が小さい側]

等号を含めば境界を含む。等号を含まなければ境界も含まない

円の内側/外側の領域

例題

次の不等式の表す領域を図示せよ。
(1) x2+y≧0
(2) 0<2x≦x2+y2

(1)はx2を移項すればy≧-x2となるのですぐにy>f(x)型になることがわかります。
(2)は0<2xと2x≦x2+y2を両方満たす部分です。まずはそれぞれの境界をかき両方満たす部分のみを答えます。いずれも境界を含むかどうかのコメントを忘れずに書きましょう。

答え(1) y≧-x2の領域は下の斜線部分。ただし境界を含む。
領域例題1答え
(2) 0<2xはx>0なのでy軸より右側の部分。
2x≦x2+y2 ⇔ (x-1)2+y2≧1なので(1,0)を中心とする半径1の円の円周上または外側の部分
よって共通部分は下の斜線部分
領域例題2答え
ただし境界は円周上の原点以外を含み,y軸は除く。

境界コメントの書き方は読んだ人がわかればOKです。書き方の定型文があるわけでもないのであいまいさが残らないようにハッキリと書けばいいでしょう。(2)だと「円周上は含む。y軸は除く。原点は除く。」など何でもいいです。

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