確率の基本

上野竜生です。確率の基本を教えます。よくあるような簡単なものから積み上げるタイプでもいいですがここではあえて一般化したものを使ってある程度紹介します。

確率の基本

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いきなりですがまず最初に次の公式を教えます!

POINT事象Aが起きる確率をP(A),Bが起きる確率をP(B)とし,「AかつB」が起きる確率をP(A∩B)とする。このとき「AまたはB」が起きる確率P(A∪B)は
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)

注意:AかつBが起きる確率P(A∩B)はP(A)やP(B)から計算できるときもありますが一般には個別に計算しないと求まりません。

AまたはBだから「P(A)+P(B)」といいたいところですがAもBも両方を満たす場合が2回カウントされているので1回にするためにP(A∩B)を引くのです。

これを理解しておきましょう。

この公式を理解できればあとは簡単です。

基本事項

超基本事項を述べていきます。

① 全事象がn通りの中から特定の1通りが選ばれる確率は\( \frac{1}{n} \)

例えばサイコロを振って3が出る確率:サイコロは1~6までの6通りの中から特定の1通りが選ばれる確率なので6分の1

正確にはいびつなサイコロかもしれない!!と言われるかもしれないので数学的にはこれを「同様に確からしい」という表現をします。

つまり1が出る確率も2が出る確率も・・・6が出る確率も等しいサイコロのことを「どの目が出る確率も同様に確からしいサイコロ」というのです。このサイコロで3が出る確率は6分の1となります。

②全事象がn通りでどれも同様に確からしいとき特定のm通りが選ばれる確率は\( \frac{m}{n} \)

理由は直感的にわかりますね。これがおそらく教科書で最初に教えられる公式です。

③ AかつBが絶対に起きないような場合は最初に与えたPOINTの公式の最後の項が消え
P(A∪B)=P(A)+P(B)となる。
このような「AかつBが絶対に起きない」ようなことを「AとBは排反である」という

たとえば「A:Xが3の倍数 B:Xが4の倍数」だとXが12の倍数の時にAかつBが起きますが「A:Xは3の倍数 B:Xを3で割った余りが1」だとAかつBは起きません。このような場合は単純に足すだけでOKです。そしてこれを繰り返すと②の式が示せます。つまり「特定のm通り」はすべて排反なので\( \frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\cdots \frac{1}{n} \)と言う風にm個を足すだけで良くなりm個を足すということはm倍することなので\( \frac{m}{n} \)になるのです。

ここで例題を2問出します。

例題1: 「1」「2」「3」「4」「5」の5枚のカードを無作為に並べ替えて5ケタの整数を作る時,偶数である確率を求めよ。
答え「1」「2」「3」「4」「5」の5枚のカードを無作為に並べ替えて5ケタの整数を作る全事象は5!=120通りでこれらはすべて同様に確からしい。
その中で偶数なのは48通り
(∵一の位の決め方は「2」「4」のみで2通り。十の位は一の位に使わなかった4枚から選べるので4通り。百の位は残りの3通り。千の位は2通り。万の位は1通りから選べるので2×4×3×2×1=48通り)
よって求める確率は\(\displaystyle \frac{48}{120}=\frac{2}{5} \)

例題2:袋の中に赤玉3個白玉2個が入っている。ここから同時に3個の球をとる時「赤2個白1個」である確率を求めよ。

【誤答例1】赤玉を●白玉を○と表す。取り出した3個の球の組み合わせは
「●●●」「●●○」「●○○」「○○○」の4通り。そのうち「●●○」の1通りになる確率は\(\frac{1}{4} \)

【誤答例2】赤玉を●白玉を○と表す。取り出した3個の球の組み合わせは
「●●●」「●●○」「●○●」「○●●」「●○○」「○●○」「○○●」「○○○」の8通り。そのうち赤2個白1個なのは「●●○」「●○●」「○●●」の3通りだから確率は\(\frac{3}{8} \)

ダメな理由は全事象の4通りや8通りが同様に確からしくはないということです。確率ではあくまでも同様に確からしいところまで噛み砕かないと計算できません。次の例題と比較しましょう。

例題2’:袋の中に「A」「B」「C」「d」「e」のカードが入っている。ここから同時に3枚とる時「大文字のカード2枚+小文字のカード1枚」である確率を求めよ。
答え全事象は5枚のカードから3枚を選ぶやり方で5C3=10通りでこれは同様に確からしい
そのうち「大文字2枚+小文字1枚」になるのは6通り(大文字の決め方3通り×小文字の決め方2通り)なので\( \frac{6}{10}=\frac{3}{5}\)

これと全く同じことです。例題2でも例題2’に置き換えて答えは\( \frac{3}{5} \)にしないといけません。同様に確からしくなるまでかみ砕けば,赤3個白2個はすべて区別をして5個から3個を選ぶやり方が全事象となり,それに合わせて赤2個白1個を取る事象も同じ赤玉でも区別して3×2通りとしなければなりません。つまり例題2の考え方を図示すると下のようになります。

【正しい考え】赤玉を❶❷❸,白玉を①②とする。
全事象:「❶❷❸」「❶❷①」「❶❸①」「❷❸①」「❶❷②」「❶❸②」「❷❸②」「❶①②」「❷①②」「❸①②」の10通りでこれは同様に確からしい。
求める事象: 「❶❷①」「❶❸①」「❷❸①」「❶❷②」「❶❸②」「❷❸②」の6通り。だから\( \frac{6}{10}=\frac{3}{5} \)

数が多くなると書きだせないので教科書的には「確率ではモノはすべて区別する!」などと表現していますが,その基本となるのは「区別しないと各確率が同様に確からしくならない」ということにあるのです。

ここまで理解できれば問題集などで問題を解いていきましょう。一般的な問題集の最初の方は解けても中盤ぐらいからあれ?ってなるかもしれません。そうなったらこのページや問題集の解説をよく読んで理解しておきましょう。

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