2次関数と直線

上野竜生です。2次関数と直線の位置関係について述べます。

2次関数と直線

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位置関係は大きく3通りしかない

ズバリ

・異なる2点で交わる

・1点で交わる(接する)

・交わらない

そして,これらを判別するのに役立つのが判別式です。

放物線と直線の位置関係3パターン

放物線y=ax2+bx+cと直線y=mx+nの交点のx座標

基本事項「交点の座標を求めることは連立方程式を解くということ」なので

y=ax2+bx+cとy=mx+nを連立させると簡単に

ax2+bx+c=mx+nというxだけの方程式が出来上がります。

この解が交点のx座標であり,交点がいくつあるかを判別することはこのx座標がいくつあるかを判別することに等しいです。よって右辺を移項したxの2次方程式

ax2+(b-m)x+(c-n)=0の判別式(解の公式のルートの中身)をDとすると

D=(b-m)2-4a(c-n)であり,これが

D>0 → 交点は2個。異なる2点で交わる。

D=0 → 交点は1個。接する。

D<0 → 交点は0個。交わらない。

ということになるのです。

例題

放物線y=x2-3x+1と直線y=x-2の交点をすべて求めよ。

何個あるか?より少し先を行く問題です。すべて求められるということは何個かわかるはずですから。

答えx2-3x+1=x-2を解けばよい。
x2-4x+3=(x-1)(x-3)=0なので交点は2つで、交点のx座標はx=1,3
y=x-2に代入すると交点は(1,-1),(3,1)
放物線y=x2-3x+1と直線y=kx-2が交わらないとき,定数kの値の範囲を求めよ。
答えx2-3x+1=kx-2を整理すると
x2-(k+3)x+3=0・・・①
①の判別式をDとするとD<0であれば良い。
D=(k+3)2-12=k2+6k-3<0
よって\( -3-2\sqrt{3}<k<-3+2\sqrt{3} \)

数IIの微分まで習えば2次関数以外の関数でもわかるのですが数I範囲でも2次関数に関してはわかります。数IIを習うまでは使うでしょう。

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