三角形の面積(座標)

上野竜生です。座標で表された三角形の面積の求め方とその証明,応用問題を紹介します。

三角形の面積(座標)

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公式

3点O(0,0) , A(a,b), B(c,d)を頂点とする三角形の面積は\( \displaystyle \frac{1}{2}|ad-bc| \)

1点が原点でないといけませんが,原点でなくても平行移動して無理やり原点にすればOKです。

証明

OAを底辺,「点Bと直線OAの距離」を高さとみる。

面積の公式の証明

直線OAの式はbx-ay=0

「点(c,d)と直線bx-ay=0の距離」は\( \displaystyle \frac{|bc-ad|}{\sqrt{a^2+b^2}} \)

OA=\( \sqrt{a^2+b^2} \)なので△OABの面積は

\( \displaystyle \frac{1}{2} \sqrt{a^2+b^2} \frac{|bc-ad|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{1}{2}|bc-ad| = \frac{1}{2}|ad-bc| \)

例題1 (単純な場合)

3点(1,1),(2,3),(5,8)を頂点とする三角形の面積を求めよ。

どれも原点でないのでx方向に-1,y方向に-1平行移動させて無理やり1つを原点にします。

答え3点をx,y軸方向に-1平行移動させると
(0,0),(1,2),(4,7)となる。この三角形の面積は
\( \frac{1}{2}|1\cdot 7 – 2\cdot 4| = \frac{1}{2} \)なので
もとの三角形の面積も\( \frac{1}{2} \)

この程度なら力技でも解けますよね・・・。でも面積の最小など座標が文字であらわされていて面積を求めてからさらに最小性を計算する場合はこの公式で解かないとしんどいです。次の例題を見てみましょう。

例題2

放物線y=x2上に点Pがある。A(1,-2), B(3,2)とするとき△ABPの最小値を求めよ。またそのときのPの座標を求めよ。
答えP(t,t2)とおく。Aが原点になるように平行移動させると
P'(t-1 , t2+2) , A'(0,0) , B'(2,4)となるので△A’B’P’の面積は
\( \frac{1}{2}|4(t-1)-2(t^2+2)|=\frac{1}{2}(2t^2-4t+8)=t^2-2t+4 \)
t2-2t+4=(t-1)2+3よりt=1で最小値3をとる。
t=1よりPの座標は(1,1)
たとえば別解としてABの長さが一定なので「ABを底辺としたときの高さ」が最小の時面積も最小という考えができます。
しかし,結局「高さ」を点と直線の距離の公式で求めるので今回の面積の公式の証明と同じことをやっているのです。

または接線を利用した解法もあります。

面積が最小となるのはPにおける接線の傾きがABの傾きと一致するとき。Pのx座標をtとするとPにおける接線の傾きは2t,ABの傾きは2なのでt=1 ∴P(1,1)

しかし,結局最小値の面積を求めるときに公式を使うことになります。

この公式は便利なので是非覚えておきましょう。

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