2つの円の共通接線の長さの求め方

上野竜生です。2つの円の共通接線(2タイプあります)の求め方を紹介します。一般化した公式を覚えるのではなく,発想を理解しましょう。(そのため一般化したものは紹介しません)

2つの円の共通接線の長さ

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アイデア

円の中心と接点を結んで直角をつくる

三平方の定理が使える場所を探す!

2つの円の中心を結ぶのも有効です。

いろんな問題に応用できる形にしたいのであえて一般的なことしか言ってませんが具体的な問題は下の例題を見てみましょう。

例題

図において小さいほうの円の半径は2,大きいほうの円の半径は7,2つの円の中心の距離は13であり,点A,B,C,D,E,Fはすべて円の接点,AB,CD,EFはすべて共通接線である。AB,CD,EFの長さをそれぞれ求めよ。
共通接線の例題

適切に補助線を引きましょう。

答えAB
ABの求め方図より\(AB=\sqrt{13^2-5^2}=12 \)
CD
傾いているだけで全く同じ。CD=AB=12
<別解>
CDの求め方図より\(CD=\sqrt{13^2-5^2}=12\)EF
EFの求め方
図より\(EF=\sqrt{13^2-9^2}=\sqrt{88}=2\sqrt{22} \)
ABはできるのにCDができないという人がまれにいます。
少し気づきにくいですが傾いていても全く同じことなので何度も練習して慣れておきましょう。

うまく補助線をひけば簡単なのですがどこに補助線をひくのかが重要です。接線の問題では円の中心と接点に着目することが多いです。他の応用パターンでも解けるように練習しておきましょう。

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