極値から係数を求める方法

上野竜生です。極値から係数を求める方法を紹介します。途中までは基本通りですが最後に十分性を確認しないといけないのがポイントです。

極値から係数を求める

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極値から係数を求める方法

f(x)がx=αで極値をとる⇒f'(α)=0 なのでまずf'(x)を計算しf'(α)=0から係数に関する方程式を得る。

たとえばx=αで極大値βをとる ならば f(α)=βなのでここからも係数に関する方程式を得る。

これらを連立させて係数を求める。

と,ここまでは何も習わなくてもできると思います。ですがそれだけでは不十分で最後に出てきた係数を代入し,本当に条件を満たすか確認する必要があります。

なぜならばf'(α)=0はあくまでも極値の候補なだけでf'(x)の符号変化まで述べなければ極大値か極小値かそもそも極値じゃないかわからないからです。本当に極大値であるというためには最後に確認しなければならないのです。

記述式では答えが合ってるのに減点されちゃうポイントなので注意しましょう。

数IIレベルと数IIIレベルの例題を1問ずつ出題します。

例題

(1) \(f(x)=x^3-(a+2)x^2+a^2x+b \)がx=2で極小値0をとるとき,定数a,bの値を求めよ。[数IIレベル]
(2) \(f(x)=\{x^3-(a+2)x^2+a^2x \}e^{-x} \)がx=2で極小値をとるとき,定数aの値を求めよ。[数IIIレベル]

(1)と(2)のレベルの違いは微分の難易度の違いだけなのでまとめて行います。どちらも全く同じです。

答え(1) \( f'(x)=3x^2 – 2(a+2)x + a^2 \)
x=2で極値をとるからf'(2)=0
\( f'(2)=12 – 4(a+2) +a^2 = (a-2)^2 =0\)よりa=2
f(2)=0より\( f(2)=8-16+8 +b=b=0\)
逆にa=2,b=0とすると
\( f(x)=x^3-4x^2+4x \)となる。
\( f'(x)=3x^2-8x+4=(3x-2)(x-2) \)だからf(x)の増減表は下の通り。
\( \begin{array}{c|ccccc} x & \cdots & \frac{2}{3} & \cdots & 2 & \cdots \\ \hline f’(x) & + & 0 & – & 0 & + \\ \hline f(x) & \nearrow & 極大 & \searrow & 1 & \nearrow \end{array}\)
よって確かにx=2で極小値1をとるので答えはa=2,b=0
(2) \( f'(x)=\{-x^3+(a+2)x^2-a^2x +3x^2 -2(a+2)x +a^2\}e^{-x}\\=\{-x^3+(a+5)x^2-(a^2+2a+4)x+a^2 \}e^{-x} \)
x=2で極値をとるからf'(2)=0
\( f'(2)=\{-8+4(a+5)-2(a^2+2a+4)+a^2 \}e^{-2}=(-a^2+4)e^{-2}=0\)
より\( a=\pm 2 \)
\(a=2\)のとき\( f'(x)=(-x^3+7x^2-12x+4)e^{-x}=-(x-2)(x^2-5x+2)e^{-x} \)
よってf'(x)はx=2の前後で負から正に変わるので極小となりa=2は適する。
\(a=-2\)のとき\( f'(x)=(-x^3+3x^2-4x+4)e^{-x}=-(x-2)(x^2-x+2)e^{-x} \)
よってf'(x)はx=2の前後で正から負に変わるので極大となりa=-2は不適。
以上よりa=2

最後に十分性を確認しないと減点されます。気を付けましょう。

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