極値のxの値が汚いときの極値の計算方法

上野竜生です。3次関数の極大極小を求めるやり方は簡単ですがf'(x)=0を解くのに解の公式でといた場合、最後の代入の計算量が膨大になります。もちろん頑張って計算してもいいのですがそういうときは多項式のわり算を計算して「余り」を求めることで計算量を減らすことができます。

極値が汚い!計算方法

例題 x3+x2-2xの極大値・極小値を求めよ
答えf(x)=x3+x2-2xとおくと
f'(x)=3x2+2x-2
f'(x)=0を解くと\(\displaystyle x=\frac{-1\pm \sqrt{7}}{3}\)
\(\displaystyle  \alpha=\frac{-1-\sqrt7}{3} , \beta=\frac{-1+\sqrt7}{3}\)とすると増減表は下の通り。\(\begin{array}{c|ccccc} x & \cdots & \alpha & \cdots & \beta & \cdots \\ \hline f’(x) & + & 0 & – & 0 & + \\ \hline f(x) & \nearrow & 極大 & \searrow & 極小 & \nearrow \end{array}\)よって極大値はf(α),極小値はf(β)割り算のひっ算\(f(x)=x^3+x^2-2x\\\displaystyle=\left(\frac13x+\frac19\right)(3x^2+2x-2)+\left(-\frac{14}{9}x+\frac29\right)より\)
\(\displaystyle f(\alpha)=-\frac{14}{9}\alpha+\frac29 , f(\beta)=-\frac{14}{9}\beta+\frac29 \\(∵ 3\alpha^2+2\alpha-2=3\beta^2+2\beta-2=0)\)
\(\displaystyle -\frac{14}{9}\left(\frac{-1\pm \sqrt7}{3}\right)+\frac29=\frac{14\mp 14\sqrt7 +6}{27}=\frac{20\mp 14\sqrt7}{27}\)より
f(x)は\(\displaystyle x=\frac{-1-\sqrt7}{3}\)で極大値\(\displaystyle \frac{20+14\sqrt7}{27}\)、

\(\displaystyle x=\frac{-1+\sqrt7}{3}\)で極小値\(\displaystyle \frac{20-14\sqrt7}{27}\)をとる

α,βはf'(x)=0の解だからf'(α)=f'(β)=0となることを生かします。f(x)をf'(x)で割り商をQ(x),余りをR(x)とするとR(x)は高々1次式で

f(x)=Q(x)f'(x)+R(x)

となり,x=αを代入すると

f(α)=Q(α)f'(α)+R(α)=Q(α)・0+R(α)=R(α)

となります。なのでf(x)をf'(x)で割った余りR(x)を求めて高々1次式R(x)で計算できないかと考えるのが計算量を減らすコツです。

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