組にわける方法は何通り?

上野竜生です。組に分ける方法は何通りあるかの問題について解説します。微妙なニュアンスの違いで答えが変わってくるので注意が必要です。

組に分ける方法は何通り

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重要なのは区別できるかできないか

具体例は下の例題のようなものを参考にしてください。基本的に人は区別されます。なので「3個の玉」は区別できないが「3人」はたとえAさんBさんCさんと名前をつけていなくても区別できるとみなされます。ただし「異なる玉」や「赤・白・黒の玉」「大中小の玉」などであれば区別はできます。

下の例題で(1)と(3)は全く同じです。なぜなら5冊の組と4冊の組と3冊の組は区別できるので(1)の人と(3)の組は1対1に対応するからです。しかし(2)と(4)は違います。4冊の組と4冊の組と4冊の組は区別できませんのでどの「4冊」を誰に与えるかによって3!=6通り考えられてしまい6対1に対応するからです。

このように人かモノか、個数が同じか違うかなど正確に読まないと一見同じ問題に見えても実は違っていたりして、間違った計算をしてしまう危険もあります。

例題

12冊の異なる本をわける。
(1) Aさんに5冊,Bさんに4冊,Cさんに3冊与える方法は何通りあるか?
(2) A,B,Cさんに4冊ずつわける方法は何通りあるか?
(3) 5冊,4冊,3冊の組にわける方法は何通りあるか?
(4) 4冊ずつ3つの組に分ける方法は何通りあるか?
(5) A,B,Cさんの3人に分ける方法は何通りあるか?ただし全員に1冊以上与えるものとする。
(6) 3組にわける方法は何通りあるか?ただし各組に1冊以上与えるものとする。

(1)Aさんは12冊中5冊が選べるから12C5=792通り。
Bさんは残りの7冊から4冊が選べるから7C4=35通り。
Cさんは残りの3冊から3冊を選ぶから3C3=1通り。
よって792×35×1=27720通り

ちなみに誰から考えても同じです。たとえば12冊の本を左から1列に並べるやり方が12!通りあります。
そのうち左から5冊目までをAさんがとることにします。最初の5冊はどの順に並んでいても変わりません。
(1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12と並んでも3-5-2-4-1-6-7-8-9-10-11-12と並んでもAさんがとるのは1-2-3-4-5であることに変わりない)
ということは5!通りずつ重複して数えています。同様に6番目から9番目に並んでいるのをBさんがとると4!通りずつ重複、10番目から12番目に並んでいるのをCさんがとると3!通りずつ重複するので
\(\displaystyle \frac{12!}{5!4!3!}=27720 \)通りとなります。この考えなら誰から順番に考えても同じであることはすぐ理解できますね。

(2) (1)とまったく同様にして
12C4×8C4×4C4=34650通り。

(3) (1)とまったく同様であるから27720通り。

(4) 34650÷3!=5775通り

これは(2)とは異なります。たとえばAさんに1-2-3-4を分け,Bさんに5-6-7-8, Cさんに9-10-11-12とわけるのと,Aさんに9-10-11-12 Bさんに1-2-3-4 Cさんに5-6-7-8とわけるのが重複しています。ほかにも3!通りずつ重複しているのがわかりますね。

(5) 1冊目の本をA,B,Cさんの誰にわけるか決めるやり方が3通り。
2冊目も3冊目もすべて3通り。よって312=531441通り
しかしこの中には誰かが0冊になる場合も含む。
・2人が0冊のとき
Aさんに12冊 またはBさんに12冊またはCさんに12冊だから3通り
・1人が0冊のとき
A,Bさんに12冊配るのは212=4096通り。このうちすべてAさんに配る場合とすべてBさんに配る場合を除いて4096-2=4094通り。
B,Cさんに配るときも4094通り。C,Aさんに配るときも4094通り。
よって4094×3=12282通り
以上より531441-12282-3=519156通り。

(6) 519156÷6=86526通り

これも先ほどと同様でAさんに組1,Bさんに組2,Cさんに組3とわける場合と(A,B,C)さんに組(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1)とわける場合と6回ずつ重複しているので6でわらないといけません。
類題やよく似たパターンなどの問題をたくさん解かないとワンパターンしか勉強していない人は間違えますのでしっかり問題集などで経験を積んでおきましょう。

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