軌跡の求め方

上野竜生です。軌跡を答えるといわれたときどうすればいいか、忘れてしまうことがよくあります。きちんと図示することをイメージして解くようにしましょう。

軌跡

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基本はアポロニウスの円

2つの点からの距離がa:b(≠1:1)になる点の軌跡は2点を「a:bに内分する点」と「a:bに外分する点」を直径とする円になります。これをアポロニウスの円といいます。実際に計算してみましょう。

例題:O(0,0)とA(3a,0)がある。OP:AP=2:1となる点Pの軌跡を求めよ。
軌跡の手順
1. P(X,Y)とおき、条件式を求める(このときに範囲も求めておく)
2. X,Y以外の文字を消去する
3. X,Yの範囲を正確に求める
4. 図示するなら図示。図形の名称を考える

この手順に従って解いてみます。

  1. P(X,Y)とおくと
    \( OP=\sqrt{X^2+Y^2},AP=\sqrt{(X-3a)^2+Y^2}\)なので
    \( \sqrt{X^2+Y^2}:\sqrt{(X-3a)^2+Y^2}=2:1 \)
  2. \( \sqrt{X^2+Y^2}=2\sqrt{(X-3a)^2+Y^2}\)の両辺を2乗すると
    \(X^2+Y^2=4(X^2-6aX+9a^2+Y^2)\)

整理して\( 3X^2-24aX+3Y^2 +36a^2=0 \)

両辺を3で割ると\( X^2-8aX+Y^2+12a^2=0 \)

3. 範囲: 今回は特に条件がありませんので全範囲になります。

4. 図形の名称:これだけでは少しわかりにくいのでもう少し変形します。

\( X^2-8aX+Y^2+12a^2=0\)を変形すると
\( (X-4a)^2+Y^2=(2a)^2 \)

よって答えは(4a,0)を中心とする半径2aの円周となります。

軌跡図1

すごく厳密にはa>0とは言ってないので半径は2|a|と書くべきです。

(0,0),(3a,0)を2:1に内分する点は(2a,0)、2:1に外分する点は(6a,0)なので(2a,0),(6a,0)を直径とする円は(4a,0)を中心とする半径2aの円となります。

このように軌跡の問題はただ計算が面倒くさいだけで難問ではないことが多いです。ただし,全範囲が答えにならない場合があります。そこを正確に求められるかがカギです。次の例題を見てみましょう。

軌跡の限界を求める例

例題:kが実数全体を動くとき,\(y=kx\)と\(x+ky=k\)の交点の軌跡を求めよ。

交点をP(X,Y)とおく。
\( Y=kX , X+kY=k\)を連立させて解くと
\( \displaystyle X=\frac{k}{k^2+1} , Y=\frac{k^2}{k^2+1}\)

ここでX,Yの範囲を求める

Xは\(-\frac{1}{2} \leq X \leq \frac{1}{2}\)を動く。

Yは\(0 \leq Y < 1\)を動く。(Y=1とはならないことに注意)

このあたりの導出はkの関数とみてグラフを書く方法や,この場合のXは相加相乗平均の関係を利用する方法があります。なお,この段階で範囲が求めにくい場合「範囲を求めなければいけない」ということだけ覚えておいて次に進んでみる手があります(最終的にどんな図形になるか見てから範囲を判断する)

ここからkを消去し,XとYだけの関係式を作れば良い。

\(k=\frac{Y}{X}\)をX=・・・の式に代入すると

\( \displaystyle X=\frac{\frac{Y}{X}}{(\frac{Y}{X})^2+1}\)

分母分子に\(X^2\)をかけて

\( \displaystyle X=\frac{XY}{Y^2+X^2}\)

よって\( X^2+Y^2=Y \)

整理すると\( X^2+(Y-\frac{1}{2})^2=(\frac{1}{2})^2\)

Y=1とはならないので(0,1)は除外される。

点(0,\(\frac{1}{2}\))を中心とする半径\(\frac{1}{2}\)の円の(0,1)を除く部分。

軌跡図2

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