確率の最大値

上野竜生です。「~となる確率が最大となるのは?」問題の解法を紹介します。

確率の最大値

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例題

成功する確率が\(\frac{2}{7} \)であるゲームを100回行うときn回成功する確率をpnとおく。pnが最大となるようなnの値を求めよ。

まずは\(p_n\)を求めたあと,\(p_{n+1}-p_n \)と0との大小関係を比較するか\(\displaystyle \frac{p_{n+1}}{p_n} \)と1との大小関係を比較します。

\(p_{n+1}-p_n \)と0との大小関係を比較する解法

\(\displaystyle p_n= {}_{100}C_{n} \left(\frac{2}{7} \right)^n \left( \frac{5}{7} \right)^{100-n}=\frac{100!}{n!(100-n)!}\cdot \frac{2^n \cdot 5^{100-n}}{7^{100}} \)

\(\displaystyle p_{n+1}-p_n\\ \displaystyle =\frac{100!}{(n+1)!(99-n)!}\cdot \frac{2^{n+1} \cdot 5^{99-n}}{7^{100}}-\frac{100!}{n!(100-n)!}\cdot \frac{2^n \cdot 5^{100-n}}{7^{100}} \\
\displaystyle = \frac{100!}{(n+1)!(100-n)!}\cdot \frac{2^n \cdot 5^{99-n}}{7^{100}} \left\{2(100-n)-5(n+1) \right\} \\ \displaystyle = \frac{100!}{(n+1)!(100-n)!}\cdot \frac{2^n \cdot 5^{99-n}}{7^{100}} (195-7n) \)

\(\displaystyle \frac{100!}{(n+1)!(100-n)!}\cdot \frac{2^n \cdot 5^{99-n}}{7^{100}}>0 \)なので195-7nと0との大小関係を調べればよい。
n≧28のとき\(p_{n+1}-p_n <0\)
n≦27のとき\(p_{n+1}-p_n >0\)となる。
よって\(p_0< p_1 <p_2 < \cdots< p_{27}<p_{28}>p_{29}>p_{30} >\cdots >p_{100} \)となり,pnが最大になるnの値はn=28

\(\displaystyle \frac{p_{n+1}}{p_n}\)と1の大小関係を利用する方法

\(\displaystyle p_n= {}_{100}C_{n} \left(\frac{2}{7} \right)^n \left( \frac{5}{7} \right)^{100-n}=\frac{100!}{n!(100-n)!}\cdot \frac{2^n \cdot 5^{100-n}}{7^{100}} \)

\(\displaystyle \frac{p_{n+1}}{p_n}=\frac{100!}{(n+1)!(99-n)!}\cdot \frac{2^{n+1} \cdot 5^{99-n}}{7^{100}}\cdot \frac{n!(100-n)!}{100!}\cdot \frac{7^{100}}{2^n \cdot 5^{100-n}}\\
=\displaystyle \frac{n!(100-n)!}{(n+1)!(99-n)!}\cdot \frac{2^{n+1}\cdot 5^{99-n
}}{2^n \cdot 5^{100-n}}\\
=\displaystyle \frac{100-n}{n+1}\cdot \frac{2}{5} =\frac{2(100-n)}{5(n+1)}\)

\(\displaystyle \frac{200-2n}{5n+5}>1\)を解くと\( 200-2n>5n+5\)よりn≦27

よって

n≦27では\(\displaystyle \frac{p_{n+1}}{p_n}>1\)

n≧28では\(\displaystyle \frac{p_{n+1}}{p_n}<1\)となるから

\(p_0< p_1 <p_2 < \cdots< p_{27}<p_{28}>p_{29}>p_{30} >\cdots >p_{100} \)となり,pnが最大になるnの値はn=28

アイデアだけ覚えればあとは頑張って計算するだけです。頑張りましょう!

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