三角関数の加法定理の適用

上野竜生です。前回は加法定理の証明をしましたが、今回は加法定理を適用して具体的な値を求めていきましょう。

加法定理の適用

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<復習>三角関数の加法定理

\(\sin{(\alpha \pm \beta)}=\sin{\alpha}\cos{\beta}\pm \cos{\beta}\sin{\alpha} \)

\(\cos{(\alpha \pm \beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}\mp \sin{\alpha}\sin{\beta}\)

\(\displaystyle \tan{(\alpha \pm \beta)}=\frac{\tan{\alpha} \pm \tan{\beta}}{1\mp \tan{\alpha}\tan{\beta}}\)

すべて複号同順です。

例題1 具体的な値を計算する

次の値を計算せよ。
(1) sin75°  (2) cos15° (3) tan75°
答え(1) sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°
\(=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\)
(2) cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°
\(=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\)
【別解】cos15°=sin(90°-15°)=sin75°=(1)の答え(3) \(\displaystyle \tan{75°}=\tan{(45°+30°)}=\frac{\tan{45°}+\tan{30°}}{1-\tan{45°}\tan{30°}}\\
\displaystyle =\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}{1-1\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{3+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}\\
\displaystyle =\frac{(3+\sqrt{3})(3+\sqrt{3})}{(3-\sqrt{3})(3+\sqrt{3})}=\frac{12+6\sqrt{3}}{6}=2+\sqrt{3} \)

最後は分母の有利化をしています。これで15°の倍数の角度はすべて求めることができます。
理論的にはあとで学ぶ18°の三角比も使えば3°が計算できるので3の倍数は出そうと思えば出せます。(ただしとても汚いので試験には出ません)

例題2 中途半端な角度でも計算できる

\(\alpha,\beta\)は\(0<\alpha<\frac{\pi}{2}<\beta<\pi \)を満たし,さらに\(\sin{\alpha}=\frac{1}{4} , \sin{\beta}=\frac{7}{8} \)とする。このとき,\(\sin{(\alpha+\beta)}\)の値を求めよ。
答え三角関数の相互法則よりsin2α+cos2α=1なので
\(\cos^2{\alpha}=1-(\frac{1}{4})^2=\frac{15}{16} \) \(0<\alpha<\frac{\pi}{2}\)より\(\cos{\alpha}>0\)だから\(\cos{\alpha}=\frac{\sqrt{15}}{4}\)
\(\cos^2{\beta}=1-(\frac{7}{8})^2=\frac{15}{64} \) \(\frac{\pi}{2}<\beta<\pi \)より\(\cos{\beta}<0\)だから\(\cos{\beta}=-\frac{\sqrt{15}}{8}\)
よって
\(\sin{(\alpha+\beta)}=\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta}\\
=\displaystyle \frac{1}{4}\cdot \left(-\frac{\sqrt{15}}{8}\right)+ \frac{\sqrt{15}}{4}\cdot \frac{7}{8}=\frac{-\sqrt{15}+7\sqrt{15}}{32}=\frac{3\sqrt{15}}{16}\)

このようにsinがわかればcosもわかるので加法定理にでてくる4つの三角比がすべてわかります。4つの三角比がわかれば具体的な角度がわかってなくても和が計算できるのです。

例題3 わからない角度の和がわかる角度になる場合

\(\alpha,\beta\)は\(0<\alpha<\frac{\pi}{2}, 0<\beta<\frac{\pi}{2}\)を満たし,さらに\(\tan{\alpha}=\frac{1}{5} , \tan{\beta}=\frac{2}{3} \)とする。このとき,\(\alpha+\beta\)を求めよ。
答え加法定理より
\(\displaystyle \tan{(\alpha+\beta)}=\frac{\tan{\alpha}+\tan{\beta}}{1-\tan{\alpha}\tan{\beta}}=\frac{\frac{1}{5}+\frac{2}{3}}{1-\frac{1}{5}\cdot \frac{2}{3}}=\frac{\frac{13}{15}}{\frac{13}{15}}=1\)
\(0<\alpha<\frac{\pi}{2}, 0<\beta<\frac{\pi}{2}\)より\(0<\alpha+\beta<\pi\)だから
\(\alpha+\beta=\frac{\pi}{4}\)

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