因数定理の基本と応用

上野竜生です。因数定理とは次の定理です。

多項式f(x)が(x-α)で割り切れる⇔f(α)=0

たったこれだけですがかなり使えます。実際に例題をいくつか見ていきましょう。

因数定理

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例題1

\( x^5+3x^2 \)を(x-1)(x-2)で割った余りを求めよ。

この問題は次のように言い換えられます。

余りをax+bとおくと
\( x^5+3x^2-ax-b\)は(x-1)(x-2)で割り切れる。
そこで,この左辺(5次式のほう)をf(x)とします。
(x-1)で割り切れるからf(1)=0,
(x-2)で割り切れるからf(2)=0です。
この2つを連立させます。
\( \displaystyle \left\{ \begin{eqnarray}
f(1)=4-a-b&=&0 \\
f(2)=44-2a-b&=&0 \end{eqnarray} \right. \)より
a=40 , b=-36 ゆえに余りは40x-36

このような使い方ができます。

例題2

\(x^3-2x-4\)を因数分解せよ。

このような場合も\(f(x)=x^3-2x-4\)とおき,f(2)=0になることに気づけば(x-2)で因数分解できることがわかります。あとは割り算を実行して

\( (x-2)(x^2+2x+2) \)が答えとなります。

さらに言うとここからこの方程式の解を求めることができます。高校数学では因数分解できないタイプの3次式は解けません。(本当は求める公式がありますが誘導なしではとても無理)なのでこのやり方をマスターすれば試験に出る3次式はすべて解けることになります。

少し難しい問題を出します。

例題3

\( x^5+3x^2 \)を\((x-1)^2\)で割った余りを求めよ。

これはどうでしょう?例題1と同様に余りをax+bとおいて計算します。

\( f(x)=x^5+3x^2-ax-b \)とおくとf(1)=0かつf(1)=0??

あれ?となってしまいます。まず,f(1)=0は間違いないのでa+b=4は導出できます。方法としてはここでb=4-aを代入し(x-1)で実際に1回割ります。

解1

\( (x-1)(x^4+x^3+x^2+4x-(a-4)) \)になるのでこの右の( )内についてもう1度因数定理を使えば1+1+1+4-a+4=0となり,a=11,つまりb=-7が出ます。
よって答えは11x-7と出せます。

解2

「\( x^5+3x^2-ax-b\)が\((x-1)^2\)で割り切れる」をy=x-1とおいて変数変換してみます。x=y+1を代入すると

\( (y+1)^5+3(y+1)^2-a(y+1)-b \)が\(y^2\)で割り切れる となるので二項定理で展開すればOKです。

\( (y+1)^5+3(y+1)^2-a(y+1)-b \\
=y^5+5y^4+10y^3+10y^2+5y+1+3y^2+6y+3-ay-a-b
\\=y^5+5y^4+10y^3+13y^2+(11-a)y+(4-a-b)\)

となり,a=11, b=-7が得られるので答えは11x-7となります。

解3

しかし,実は\( (x-a)^2 \)で割り切れる条件を簡単に出すことができます。

多項式f(x)が\((x-a)^2\)で割り切れる⇔f(a)=0かつf'(a)=0

これを使えば一瞬で出せます。

f(1)=0よりa+b=4
f'(1)=0を計算する。\(f'(x)=5x^4+6x-a\)よりf'(1)=11-a=0
よってa=11,b=-7となり11x-7

2変数以上の因数分解にも使えます。

例題4

\( a^3+b^3+c^3-3abc \)を因数分解せよ。

これをaの関数とみてf(a)とします。対称式なので(a+b+c)でくくれそうです。そこで因数定理からf(-b-c)を計算してみます。これが0になれば(a-(-b-c))つまり(a+b+c)でくくれることがわかります。

\(\begin{eqnarray} f(-b-c)&=&(-b-c)^3+b^3+c^3-3(-b-c)bc\\&=&-b^3 – 3b^2c -3bc^2 -c^3 + b^3+c^3+3b^2c+3bc^2\\&=&0 \end{eqnarray}\)

よって(a+b+c)で割り切れ,実際にひっ算をすると答えは
\((a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\)と求まります。

この考えができない人が多いです。

最後に応用問題を出します。解けた人は自信を持ってくださいね。

例題5

\( x^{10}-1 \)を因数分解せよ。

一般のn乗でも出せなくはないですが,何でもいいのでnを決めないと高校生には厳しいと思います。そこで今回は10にしてみました。これ,因数分解できますか?

\(f(x)=x^{10}-1\)とおく。f(1)=0なので(x-1)で割り切れる。よって
\( (x-1)(x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)\)

これでは不十分です。

f(-1)=0なので(x-1)(x+1)で割り切れるから
\( (x-1)(x+1)(x^8+x^6+x^4+x^2+1) \)
これでもまだ不十分です。さて,わかりますか?

まず,\( (x^{10}-1)=(x^5+1)(x^5-1) \)とできればあとは難しくありません。それぞれ因数定理を使えば
\( (x^5+1)=(x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1), \\ (x^5-1)=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1) \)
となるので
\( (x+1)(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1)\)

一応これが答えです。でもせっかくだから3つめと4つめの( )内がもう因数分解できないことを示したいところです。
4次式なので1次式か2次式で割り切れるはず。1,-1を代入しても0にはならないから1次式では割り切れません。あとは2次式で割り切れると仮定して\( (x^2+ax+b)(x^2+cx+d)\)を展開し係数比較すればOKです。a,b,c,dは存在しないことがわかります。

例題6

\( x^7+x^2+1\)は\((x^2+x+1)\)で割り切れるか?

\(x^2+x+1\)で割る問題もたまに出ます。この問題はズバリωに注目します。ωとは\(ω^3=1\)を満たすもののうちω=1でないものの1つのことで,次の2つの性質を満たします。

i) \(ω^3=1\)
ii) \(ω^2+ω+1=0\)

これを使うとf(ω)=0,f(\(ω^2\))=0となるので\((x-ω)(x-ω^2)=x^2+x+1\)で割り切れます。

<補足>

\( f(\omega)=\omega^7+\omega^2+1=(\omega^3)^2\omega+\omega^2+1\)
\(=\omega+\omega^2+1=0\)

となります。

このぐらいできれば因数定理はマスターしたといっていいでしょう。

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