方べきの定理

上野竜生です。方べきの定理の3パターンとその証明をつけて,実際に練習問題を解いてみましょう。

方べきの定理

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方べきの定理1

円周上に点A,B,C,Dをとり,ACとBDの交点をEとする。このとき
AE・CE=BE・DEが成り立つ。
方べきの定理1

[証明]△ABE∽△DCE

(∵円周角の定理より∠BAE=∠CDE,∠ABE=∠DCE)

よってAE:BE=DE:CEとなりAE・CE=BE・DE

方べきの定理2

円の外にある点Oから円に向かって2つの線をひくとそれぞれ点A,B , C,Dで円と交わった。
このときOA・OB=OC・OD
方べきの定理2

[証明]△OAD∽△OCBより
(∵円の対角の和は180°だから∠BAD+∠BCD=180°
∠BAD=180°-∠BCD
∠OAD=180°-∠BAD=∠BCD=∠OCB
同様にして∠ODA=∠OBC)

よってOA:OD=OC:OBとなりOA・OB=OC・OD

方べきの定理3

円外の点Oから円に向かって2つの線を引くと片方は点Aで接し,もう片方は2点B,Cで交わった。
このときOA2=OB・OCが成り立つ
方べきの定理3

[証明]△OAB∽△OCA

(共通な角だから∠AOB=∠COA
接弦定理より∠OAB=∠OCA)

よってOA:OB=OC:OAとなりOA2=OB・OC

方べきの定理の逆1

4点A,B,C,Dがある。ACとBDの交点をEとするときAE・CE=BE・DEが成り立つならば4点A,B,C,Dは同一円周上にある。
方べきの定理の逆1

[証明]3点A,B,Cまでは必ず同一円周上にありますので最後の点Dだけを示せば良い。

3点A,B,Cを通る円をかき,直線BEと円の交点をD’とする。方べきの定理より

AE・CE=BE・D’Eが成り立つ。一方仮定よりAE・CE=BE・DEが成り立つ。

よって\( DE=D’E=\frac{AE \cdot CE}{BE}\)である。

DもD’も直線BE上にありDE=D’EなのでDとD’は同じ点である。よってD=D’となり同一円周上にある。

方べきの定理の逆2

Oを通る2つの半直線上にそれぞれ点A,B 点D,Cをとる。OA・OB=OD・OCが成り立つならば4点A,B,C,Dは同一円周上にある。
方べきの定理の逆2

先ほどと同様で3点A,B,Cまでは必ず同一円周上です。そして4点目もその円周上になるようにD’をとり,D=D’を示す方針です。

[証明]

3点A,B,Cを通る円をかき,直線OCと円の交点をD’とする。方べきの定理より

OA・OB=OD’・OCが成り立つ。一方仮定よりOA・OB=OD・OCが成り立つ。

よって\(OD=OD’=\frac{OA \cdot OB}{OC}\)である。

DもD’も直線OC上にありOD=OD’なのでDとD’は同じ点である。よってD=D’となり同一円周上にある。

ここまでいろいろ図の説明をしてきましたがこういうのは図を書いてみて「こことここの積がココとココの積と等しい」などイメージで覚えればいいです。

重要なのは証明には三角形の相似を使っているということです。なのでテストで三角形の相似がありそう!と思って証明しても結局方べきの定理が出てくるだけです。

練習問題です。どの辺の長さの積かをキッチリ覚えてないと間違うと思います。気を付けて解いてみましょう。

練習問題

図の説明(円と直線の交点をA,Bとする…などという文)を書かなくても常識的にわかると思うので説明は省略します。図の?の長さを求めてください。

(1)

クイズ(1)
4
9
19
25

正解です !

間違っています !

(2)

クイズ(2)
7.5
12
40/3

正解です !

間違っています !

(3)

クイズ(3)
20/3
15
20
24

正解です !

間違っています !

(4)

クイズ(4)
2.2
4
7.2

正解です !

間違っています !

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