群数列

上野竜生です。群数列の典型的な問題を取り扱います。とりあえずこの問題が理解できれば応用もできるでしょう。

群数列

スポンサーリンク

問題

分数の数列を次のように区切る
\(\displaystyle \frac{1}{2} / \frac{1}{3} , \frac{2}{3} / \frac{1}{4} , \frac{2}{4} , \frac{3}{4} / \frac{1}{5} , \cdots , \frac{4}{5} / \frac{1}{6} ,   \cdots \)
(1) \( \displaystyle \frac{50}{100}\)は第何群の何項めか?またそれはこの数列の何項めか?
(2) この数列の第200項は何か?
(3) この数列の初項から第200項までの和を求めよ。

この問題の重要なポイントは
・項の値(この例題なら(1)の\(\frac{50}{100}\))
・第n群のm項めか?
・数列全体の何項めか?
この3つを自由に行き来できるようにすることです。

(1)前半は簡単です。(というより自分で法則を見つけるだけです)
第n群のm項めの値は\( \frac{m}{n+1} \)で表されるので\( \frac{50}{100} \)は第99群の50項め。・・・(答)

後半は第99群の50項めは全体の何項めかを問う問題ですが「第1群から第98群までの項数の和 +50」で求められます。そこで第k群にいくつ項があるかを求め,それのk=1から98までの和を計算します。

第k群にはk個の項があるので第1群から第98群までの項数の和は
\( \displaystyle \sum_{k=1}^{98} k =\frac{1}{2} 98 \cdot 99 = 49 \cdot 99=4851 \)
よって第99群の50項めは4851+50=4901項め・・・(答)

(2) 第n群のm項め=第n-1群までの項数の和+mで表されます。まずは一般に第n-1群までの項数の和を求めて第何群かを見つけましょう。それがわかればmは簡単に求まります。

第1群から第n群までの項数の和は
\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k = \frac{1}{2} n (n+1) \)
n=19のとき190
n=20のとき210なので第200項は20群にある。
200-190=10より20群の10項めであり,その値は\(\displaystyle \frac{10}{21} \)

このように第何群かをみつけるときはn=19,20など適当な値を自分で見つけて範囲を絞り込む必要があり(1)より難度は上がります。
またn=19のとき190,n=20のとき210まで計算したのに何群かを間違えやすくなっています。第19群まで足してもまだ190項しかなく足りない。第20群めでやっと210項でオーバーするので20群めとなります。

(3) 第n群の和を計算し
第1群から第19群までの和 + 20群の初項から10項めまでの和
と言う風にわけて計算しましょう。

第n群の和は
\( \displaystyle \frac{\sum_{k=1}^n k}{n+1}=\frac{n}{2} \)である。
第1群から第19群までの和は
\( \displaystyle \sum_{n=1}^{19} \frac{n}{2}=\frac{1}{4} 19\cdot 20=95 \)
第20群の初項から10項めまでの和は
\(\displaystyle \frac{\sum_{k=1}^{10} k}{21}=\frac{55}{21} \)
よって\(\displaystyle 95+\frac{55}{21} = \frac{2050}{21} \)

読んでいてわかった気になっていてもいざ解くと群や項数が1つずれて計算してしまうものです。実際に手を動かして解く練習をしましょう。慣れないと頭がパニックになります(今回の例題でもn群の分母がn+1となっているので余計にややこしいかも・・・)

数学はもちろん他の科目も勉強できる「スタディサプリ」なら人気講師の授業動画で、塾にいかなくてもまるで塾にいったかのような勉強ができます。塾と比較すると格安で、しかも無料おためしもできます。当サイトオススメのサイトです。


スタディサプリについて解説したページはこちら
スポンサーリンク

シェアする

  • このエントリーをはてなブックマークに追加

フォローする