外接円の方程式の求め方

上野竜生です。図形問題でどうしても解けなくなったら座標で解くことになりますが今回はその中で外接円の方程式を正確に計算する方法を紹介します。

外接円の方程式

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外接円の方程式の特徴を掴んで計算する!

<外接円の方程式の求め方>
a
. 外心を(a,b),半径をRとして「外心から頂点までの距離が等しい」条件を立式する。
b. 各辺の垂直二等分線の交点であることから垂直二等分線を立式する。

a.が最もわかりやすいと思いますが計算量が多くなります。問題に応じて「aのやり方で解く」・「bのやり方で解く」・「前半はbで,後半はaで解く」の3パターンできておくのが望ましいですがとりあえずaのやり方をマスターすれば解けるようになります

例題1:3点O(0,0),A(12,6),B(6,8)を頂点とする三角形OABの外接円の方程式を求めよ

このように垂直二等分線がどれも明らかでないときはaのやり方で解くことになります。

答え外接円の中心を(a,b),半径をRとすると次が成り立つ。
a2+b2=R2
(a-12)2+(b-6)2=R2
(a-6)2+(b-8)2=R2
1つめの式から2つめの式を引くと24a+12b-180=0
1つめの式から3つめの式を引くと12a+16b-100=0
(この2つの式の2つめの式)×2ー(1つめの式)を計算すると
20b-20=0
ゆえにb=1
ここからa,R2を計算するとa=7,R2=50
よって(x-7)2+(y-1)2=50
例題2:O(0,0),A(6,0),B(4,4)を頂点とする三角形の外接円の方程式を求めよ。

もちろんaのやり方でやってもいいですがOAの垂直二等分線がx=3と明らかなのでbのやり方で解くこともできます。

答えOAの垂直二等分線の式はx=3

OBの傾きは1だからOBの垂直二等分線の傾きは-1

OBの中点(2,2)を通る傾きが-1の直線が垂直二等分線なので

y=-x+4

これらの交点を求めると(3,1)

中心は(3,1)。ここからOまでの距離は\( \sqrt{10} \)だから

(x-3)2+(y-1)2=10

一般にPQの垂直二等分線の方程式は垂直条件「PQの傾き×(垂直二等分線の傾き)=-1」から傾きを計算し,PQの中点を通るという条件からy切片を求めます。

もちろん下線部「Oまで」は「Aまで」や「Bまで」でも同じなのでどれで計算してもOKです。

前半はbのやり方で,後半はaのやり方で解くと次の通りになります。

答えOAの垂直二等分線はx=3だから外接円の中心を(3,b),半径をRとすると

32+b2=R2・・・①

12+(b-4)2=R2・・・②

①から②を引くと

8+8b-16=0 ∴b=1, R2=10

よって外接円の方程式は(x-3)2+(y-1)2=10

最後に参考程度にaのやり方で解いてみます。

答え外接円の中心を(a,b),半径をRとすると

a2+b2=R2・・・①

(a-6)2+b2=R2・・・②

(a-4)2+(b-4)2=R2・・・③

①と②を連立させるとa=3

以下は「前半をbで,後半をaで解いた解法」と同様。

つまり「垂直二等分線の式を1つ求める」ことは「外心から頂点までの距離を連立させて1つ分の条件式を得る」のと同じことです。

この例では
・①と②を連立させればOAの垂直二等分線の式
・②と③を連立させればABの垂直二等分線の式
・③と①を連立させればOBの垂直二等分線の式

が出てきます。逆に言うとOAの垂直二等分線の式がすぐわかれば①と②の連立は無意味ということになります。

最初から座標が与えられた図形問題では座標が決まっていますが自分で座標を設定する場合,計算しやすいようにx軸上に2点をおくことも多いので例題2のパターンが多くなります。このときどのやり方で解けば楽にできるか事前に決めておいてもいいでしょう。センター試験のような時間との戦いの試験で時間短縮できるようになります。

外接球の方程式

これは中心から頂点までの距離が等しい条件を立式するのが確実でしょう。出題頻度は低いのであまりいろいろなパターンを練習しなくてもいいと思います。

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