円の接線に関する定理・公式（数Ａ範囲）

上野竜生です。円の接線に関する定理や公式を紹介します。

円の接点までの長さに関する定理

図のように点Pから円Oには2つの接線がひける。

1つ目は「接線」であるということを言い換えただけです。2つ目については円の半径（OA=OB=）rとおくと
\( PA=\sqrt{OP^2-OA^2} , PB=\sqrt{OP^2 – OB^2}\)より
\( PA=PB=\sqrt{OP^2-r^2} \)が成り立つ。

この図では補助線（点線）や直角マークが最初から記入されていますが，書かれていなくても自分で書けるようにする必要があります。

接弦定理

図のように円周上に点A,T,Bがある。Tを通る円の接線をひき図のように点Cを接線上にとる。

このとき∠TAB=∠BTC

[証明]　図のようにTから接線と垂直な線をひき，円との交点をD(≠T)とおく。

このときDTは円の直径であり，直径に対する円周角だから∠DCT=90°

∠DTB=90°-∠BTC　　　△DBTにおいて∠TDB=180°-∠DBT-∠DTB=∠BTC

弧BTに対する円周角は等しいから∠TAB=∠BTC

∠BTCが直角や鈍角の時もほぼ同様にできる。

例題

図のように円周上に3点A,B,Cがある。点Cに関する円の接線と，Aを通りBCに平行な直線の交点をDとする。このとき線分の長さの積AD・BC=AC²が成り立つことを証明せよ。

接弦定理は単純に角度を求める問題にも使えますがこのような証明問題でも使えます。

答え△ABC∽△DCAを示す。
錯覚は等しいから∠ACB=∠DAC
接弦定理より∠ABC=∠DCA
2組の角がそれぞれ等しいから△ABC∽△DCA
よってAC:BC=DA:CAとなりAD・BC=AC²が成り立つ。

図形問題はヒラメキが必要な分，ある意味で難しい分野です。基本は解けるようにしたうえで，複雑な応用問題は頑張ってひらめいてくださいとしか言えないです。