円の接線に関する定理・公式(数A範囲)

上野竜生です。円の接線に関する定理や公式を紹介します。

円の接線に関する定理・公式

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円の接点までの長さに関する定理

接線に関する定理1

図のように点Pから円Oには2つの接線がひける。

POINT・∠PAO=∠PBO=90°
・PA=PB

1つ目は「接線」であるということを言い換えただけです。2つ目については円の半径(OA=OB=)rとおくと
\( PA=\sqrt{OP^2-OA^2} , PB=\sqrt{OP^2 – OB^2}\)より
\( PA=PB=\sqrt{OP^2-r^2} \)が成り立つ。

この図では補助線(点線)や直角マークが最初から記入されていますが,書かれていなくても自分で書けるようにする必要があります。

例:上の図において円の半径が8, 点Pから円の接点までの距離(PA)=15とする。Pと円の中心Oを結ぶ線分と円の交点をCとするときPCを求めよ。
答えOP=\(\sqrt{PA^2+OP^2}=\sqrt{8^2+15^2}=17 \)
PC=OP-OC=17-8=9
この図はかなり親切ですが補助線が書かれていなかったり図が傾いていたりすると難易度が上がるように感じられます。慣れが必要でしょう。

接弦定理

接弦定理

図のように円周上に点A,T,Bがある。Tを通る円の接線をひき図のように点Cを接線上にとる。

このとき∠TAB=∠BTC

[証明] 図のようにTから接線と垂直な線をひき,円との交点をD(≠T)とおく。

このときDTは円の直径であり,直径に対する円周角だから∠DCT=90°

∠DTB=90°-∠BTC   △DBTにおいて∠TDB=180°-∠DBT-∠DTB=∠BTC

弧BTに対する円周角は等しいから∠TAB=∠BTC

∠BTCが直角や鈍角の時もほぼ同様にできる。

接弦定理は逆も成り立つ。つまり∠TAB=∠BTCが成り立つならばTCは円の接線である。

例題

図のように円周上に3点A,B,Cがある。点Cに関する円の接線と,Aを通りBCに平行な直線の交点をDとする。このとき線分の長さの積AD・BC=AC2が成り立つことを証明せよ。
円の接線に関する例題

接弦定理は単純に角度を求める問題にも使えますがこのような証明問題でも使えます。

答え△ABC∽△DCAを示す。
錯覚は等しいから∠ACB=∠DAC
接弦定理より∠ABC=∠DCA
2組の角がそれぞれ等しいから△ABC∽△DCA
よってAC:BC=DA:CAとなりAD・BC=AC2が成り立つ。円の接線に関する例題の答え

図形問題はヒラメキが必要な分,ある意味で難しい分野です。基本は解けるようにしたうえで,複雑な応用問題は頑張ってひらめいてくださいとしか言えないです。

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