円の接線の方程式の導出方法

 上野竜生です。円の接線の方程式を導出する方法を紹介します。

円の接線の方程式

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円の接線の公式

円(x-a)2+(y-b)2=r2円周上の点(p,q)に対する接線の方程式は
(p-a)(x-a)+(q-b)(y-b)=r2である。

覚えておいて損はしませんがこの方法でなくてもいろいろ導けるので無理して覚える必要はありません。なお,この形で知っておくと球面の接平面の公式に応用できます。

<参考>球(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=r2の球面上の点(s,t,u)における接平面の方程式は
(s-a)(x-a)+(t-b)(y-b)+(u-c)(z-c)=r2

大学1年での勉強が少し楽になります。

とりあえず接線の公式を証明しておきます。

[証明]

円の中心(a,b)と接点(p,q)を通る直線の傾きは\(\displaystyle \frac{q-b}{p-a} \)

接線はこの直線に垂直だから接線の傾きは\(\displaystyle -\frac{p-a}{q-b} \)

接線は(p,q)を通るから

\(\displaystyle y-q=-\frac{p-a}{q-b}(x-p) \)

つまり(p-a)(x-p)+(q-b)(y-q)=0 (*)

(p-a){(x-a)-(p-a)}+(q-b){(y-b)-(q-b)}=0

(p-a)(x-a)+(q-b)(y-b)=(p-a)2+(q-b)2=r2

(∵(p,q)は円(x-a)2+(y-b)2=r2上の点より(p-a)2+(q-b)2=r2

[参考]3次元の場合でも接平面の定義から(*)に相当する式まではすぐに得られるので残りはこれと同様の考え方で導けます。

例題

例題1:円x2+y2=17の点(4,1)から引いた接線の方程式を求めよ。
例題2:点(4,1)を通る,円(x+1)2+(y+2)2=17の接線の方程式を求めよ。

例題1は公式を適用すれば終わりですが例題2は(4,1)が円周上でないのでそのままでは公式が使えません。こういうときは接点を(p,q)とおいて公式を適用し,p,qを消去するのが定石です。

答え例題1: 円の接線の公式より4x+y=17

例題2: 接点を(p,q)とおくと円の接線の公式より

(p-(-1))(x-(-1))+(q-(-2))(y-(-2))=17

(p+1)(x+1)+(q+2)(y+2)=17

この直線は(4,1)を通るから

5(p+1)+3(q+2)=17

(p,q)は円周上の点だから

(p+1)2+(q+2)2=17

これを連立させると(p+1,q+2)=(1,4),(4,-1)

よって接線の式は

(x+1)+4(y+2)=17, 4(x+1)-(y+2)=17

整理するとx+4y=8 , 4x-y=15

公式の適用でどれを代入するのかゴチャゴチャになりそうですね・・・。

こういうときは判別式,または点と直線の距離の公式でも解けることを覚えておきましょう。

判別式による別解

例題1:(4,1)を通るy軸に平行な直線x=4は接線ではない。

求める接線の式をy=mx+nとおく。点(4,1)を通るから

4m+n=1 ∴n=1-4m

y=mx+(1-4m)をx2+y2=17に代入すると

x2+m2x2+2m(1-4m)x+(1-4m)2-17=0

直線は円に接するから判別式をDとすると

D/4=m2(1-4m)2-(m2+1)(16m2-8m-16)=0

整理するとm2+8m+16=0

m=-4

よってy=-4x+17

例題2:直線x=4は接線ではない。y=mx+(1-4m)を円の式に代入すると

(x+1)2+{mx+(3-4m)}2=17

x2+2x+1+m2x2+2m(3-4m)x+(3-4m)2-17=0

整理すると(1+m2)x2+2(1+3m-4m2)x+(16m2-24m-7)=0

判別式をDとすると

D/4=(1+3m-4m2)2-(1+m2)(16m2-24m-7)
=-8m2+30m+8=-2(m-4)(4m+1)

D=0より\(m=4,-\frac{1}{4} \)

よって直線の式はy=4x-15 , \( y=-\frac{1}{4}x+2\)

アイデアは簡単です。判別式の計算が少し面倒ですが公式を覚える手間・公式を間違って覚えるリスクを考えるとこの方針も利用価値はあります。

点と直線の距離の公式の別解

点(円の中心)と直線(求める接線)の距離=円の半径 を立式します。

例題1:求める式をmx+ny=1とおく。

点(4,1)を通るから4m+n=1 ∴n=1-4m

よってmx+(1-4m)y=1とおける。

点と直線の距離の公式より

\( \displaystyle \frac{|0+0-1|}{\sqrt{m^2+(1-4m)^2}}=\sqrt{17}\)

\( 17(17m^2-8m+1)=1 \)

\( 17m^2 -8m+\frac{16}{17}=0\)より\( m=\frac{4}{17} \)

よって\( \frac{4}{17}x+\frac{1}{17}y=1 \)

整理すると4x+y=17

例題2接線の式はmx+(1-4m)y-1=0なので点と直線の距離の公式より

\( \displaystyle \frac{|-m-2(1-4m)-1|}{\sqrt{m^2+(1-4m)^2}}=\sqrt{17} \)

\( |7m-3|=\sqrt{17(17m^2-8m+1)} \)

両辺2乗すると

\( 49m^2 – 42m+9 =289m^2-136m+17 \)

240m2-94m+8=2(8m-1)(15m-4)=0 ∴\( m=\frac18 , \frac{4}{15}\)

よって接線の式は\( \frac{1}{8}x+\frac{1}{2}y-1=0 , \frac{4}{15}x-\frac{1}{15}y-1=0 \)

整理するとx+4y=8 , 4x-y=15

このように比較すると円の接線の公式が1番楽そうですがどの値を代入するかのミスが起きやすいです。公式暗記ミスを恐れるか計算ミスを恐れるかによって解法の選択がわかれるところです

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