分母の有理化の方法

上野竜生です。分母を有理化する方法について紹介します。分母の有理化とは,分母が無理数である分数の分母分子に同じものをかけて分母を有理数にすることです。

分母の有理化

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基本の公式を思い出す!

基本の公式とは次のものです

\( (a+b)(a-b)=a^2-b^2 \)

\( (a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3 \)

\( (a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3 \)

これ以外はまず出てきません

分母にある√を消す方法

分数は分母分子に同じ数をかけても値は変わらないという性質がありますのでそれを利用します。”同じ数”を何にするかがポイントですが基本の公式が使えるようにします。

その方法とはズバリ!\( \sqrt{a} \)の符号を1か所だけ変えたものをかけることです。そうすることで\( \sqrt{a} \)を消去できます。ここでaは平方数でもかまいません。つまり整数の符号を変えてもいいでしょう。

例題

次の分数の分母を有理化せよ。
\( \displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} \)

\( \sqrt{5} \)の符号を変えてもいいですし\( \sqrt{3} \)の符号を変えてもいいです。公式が使いやすいようにここでは\( \sqrt{3} \)の符号を変えたもの(\(\sqrt{5}+\sqrt{3}\))を分母分子にかけてみます。

答え

\( \displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2} \)

となります。

公式\( (a+b)(a-b)=a^2-b^2 \)に\( a=\sqrt{5} , b=\sqrt{3} \)を代入すれば右辺が整数(有理数)になることは明らかです。この発想が有理化の基本です。
次の分数の分母を有理化せよ。
\( \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{7}} \)

1つだけ符号を変えた\( \sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{7} \)を分母分子にかけます。

基本公式\( (a+b)(a-b)=a^2+b^2 \)に\( a=\sqrt{2}+\sqrt{3} , b=\sqrt{7} \)を代入したものと考えられます。ここで右辺(\( a^2-b^2 \))は整数にはなりませんが\( \sqrt{7} \)が消えます。

\( \displaystyle \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{7}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{7})(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{7})} =\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{7}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2-(\sqrt{7})^2}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{7}}{2\sqrt{6}-2} \)

これで\( \sqrt{7} \)が消去できました。まだ1つだけ√が残ってますが,これの分母分子に\( 2\sqrt{6}+2 \)をかければ消去できることがわかります。

よって求める値は次を計算すればいいことがわかります。

\( \displaystyle \frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{7})(2\sqrt{6}+2)}{(2\sqrt{6}-2)(2\sqrt{6}+2)} \)

分母は\( (2\sqrt{6})^2-2^2=24-4=20\)になります。

分子は\( 2\sqrt{12}+2\sqrt{18}-2\sqrt{42}+2\sqrt{2}+2\sqrt{3}-2\sqrt{7}\\
=4\sqrt{3}+6\sqrt{2}-2\sqrt{42}+2\sqrt{2}+2\sqrt{3}-2\sqrt{7}\\
=8\sqrt{2}+6\sqrt{3}-2\sqrt{7}-2\sqrt{42} \)
となります。

分母分子2で約分すると最終的な計算結果は

\( \displaystyle \frac{4\sqrt{2}+3\sqrt{3}-\sqrt{7}-\sqrt{42}}{10} \)となります。

分母にある3乗根を消す方法

基本公式の下の2つを使える形にしましょう。出題頻度は高くないので結果のみを残します。

例題

次の分数の分母を有理化せよ
\( \displaystyle (1)  \frac{1}{\sqrt[3]{3}-1} \hspace{ 10pt } (2) \frac{1}{\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}+1} \)

答え

(1)

\( \displaystyle \frac{\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+1}{(\sqrt[3]{3}-1)(\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+1)}=\frac{\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+1}{2} \)

\( (a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3 \)に\( a=\sqrt[3]{3} , b=1 \)を代入した。

(2)

\( \displaystyle \frac{\sqrt[3]{2}+1}{(\sqrt[3]{2}+1)(\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}+1)}=\frac{\sqrt[3]{2}+1}{3} \)

\( (a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3 \)に\( a=\sqrt[3]{2} ,b=1 \)を代入した。

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