上野竜生です。今回は漸化式の中でも最も基本となる等差数列型・等比数列型を紹介し,さらに少し難易度は上がりますが階差数列型の解法まで紹介します。一部の参考書ではこれと並行して「調和数列型」を教えているところもありますが出題頻度も低く,あとの「一次分数型」の特殊な場合なのでこちらは一次分数型のときに紹介します。

等差数列型・等比数列型の解法

<等差数列型の漸化式>
\(a_{n+1}=a_{n}+d ,a_1=a\)
→初項a,公差dの等差数列だから\(a_n=a+(n-1)d \)
<等比数列型の漸化式>
\(a_{n+1}=ra_n ,a_1=a\)
→初項a,公比rの等比数列だから\(a_n=a\cdot r^{n-1} \)

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例題1

(1)a1=3 , an+1=an + 5
(2)a1=3 , an+1=5an
答え(1)初項3,公差5の等差数列であるから\(a_{n}=3+5(n-1)=5n-2\)
(2)初項3,公比5の等比数列であるから\(a_n=3\cdot 5^{n-1} \)

階差数列型

<階差数列型の漸化式>
\(a_{n+1}=a_n+ f(n) \)

階差数列

この図よりn≧2のとき
\(\displaystyle a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1} f(k) \)

これは公式として覚えましょう。またΣの範囲が1からn-1までということなのでn=1のときは場合分けする必要があります。n≧2のときにこの方法で求めた後,n=1のときも満たすか確かめる必要があります。
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例題2

a1=3 , an+1=an+ n2
答えn≧2のとき
\(\displaystyle a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1} k^2 \\ \displaystyle = 3+\frac{1}{6} (n-1)n(2n-1) \\ \displaystyle =\frac{1}{3}n^3 – \frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{6}n+3 \)
n=1のときこの式に代入すると
\(\displaystyle a_1=\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+3=3 \)
これは与えられた初項と等しいのでn≧1のとき
\(\displaystyle a_n=\frac{1}{3}n^3-\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{6}n+3 \)

階差数列は頻出なので結果の暗記推奨です。Σはn-1までであることとn=1のときの場合分けの記述が必要であることを覚えておきましょう。

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