○の倍数は何通りできるか問題

上野竜生です。数字の並べ替えで○の倍数が何通りあるかの問題を紹介します。

○の倍数は何通り

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例題

「0」「1」「2」「3」「4」から3枚を選んで3桁の整数を作る。なお先頭に0がくるもの、たとえば012は2桁の整数12とみなす。
(1) 3桁の整数は何個できるか?
(2) 偶数は何個できるか?
(3) 5の倍数は何個できるか?
(4) 4の倍数は何個できるか?
(5) 3の倍数は何個できるか?
(6) 3の倍数または4の倍数は何個できるか?

(1) [3桁の整数]
百の位は「1・2・3・4」の4通り
十の位は百の位で使った数字以外の4通り
一の位は百・十の位で使った数字以外の3通りだから
4×4×3=48個
(2) [偶数 ⇔ 一の位が偶数]
一の位は0・2・4である。
一の位が「0」のとき
一の位の決め方は1通り
百の位は「1・2・3・4」の4通り
十の位は「1・2・3・4」から百の位で使わなかった3通り。
よって1×4×3=12個。
一の位が「2・4」のとき
一の位の決め方は2通り
百の位の決め方は一の位で使った数字と0以外の3通り
十の位は一の位・百の位で使わなかった3通り。
よって2×3×3=18個。
以上より12+18=30個。
<別解>全体ー奇数の数を計算。
奇数となるのは一の位が「1・3」のときなので一の位は2通り。
百の位は0と一の位以外の3通り。
十の位は百の位と一の位以外の3通り。
よって2×3×3=18個。
偶数は全体から奇数を引いて48-18=30個。
(3) [5の倍数 ⇔ 一の位が5の倍数]
一の位は「0」のみ。1通り。
百の位は「1・2・3・4」の4通り。
十の位は百・一の位以外の3通り。
よって1×4×3=12個。
(4) [4の倍数 ⇔ 下2ケタが4の倍数]
下2桁の組み合わせは「04」「12」「20」「24」「32」「40」
下2桁が「04」「20」「40」のとき
下2桁の決め方は3通り。
「0」はすでに使用済みなので百の位に使える文字は「0・1・2・3・4」から下2桁で使っていない3個から選べる。
よって3×3=9個。
下2桁が「12」「24」「32」のとき
下2桁の決め方は3通り。
「0」は未使用なので百の位に使える文字は「1・2・3・4」から下2桁で使っていない2個から選べる。
よって3×2=6個。
以上より9+6=15個。
(5) [3の倍数 ⇔ 各位の和が3の倍数]
「0・1・2・3・4」のうち和が3の倍数になるように3枚を選ぶと
(0,1,2) , (0,2,4) , (1,2,3) , (2,3,4)
それぞれについて並べ方が何通りあるか調べる。
(0,1,2)・・・0は先頭に来れないので百の位2通り,十の位は百の位以外の2通り,一の位は1通りで4通り。
(0,2,4)も同様に4通り。
(1,2,3)は3!=6通り。(2,3,4)も6通り。
以上より4+4+6+6=20個。
(6) [3または4の倍数 ⇔ 3の倍数の数+4の倍数の数-3かつ4の倍数]
12の倍数の個数を調べる。
(5)の20個のうち4の倍数になっているものは
120,204,240,420,132,312,324,432の8個。((4)の中から探してもよい)
よって3または4の倍数の数は(4),(5)の結果より
15+20-8=27個

「1」「2」「3」「3」「4」から3枚を選んで3桁の整数を作る。
(1) 3桁の整数は何個できるか?
(2) 偶数は何個できるか?
(3) 4の倍数は何個できるか?
(4) 3の倍数は何個できるか?
(5) 3の倍数または4の倍数は何個できるか?

同様に解いていきます。「3」を2回使うか1回以下かで場合分けしましょう。

(1) [3桁の整数]
「3」を2回使うときは「△・3・3」(△=1,2,4)となる。
△の決め方が3通り。そのそれぞれについて並べ替え方が3通りなので9通り。
「3」を1回以下しか使わないときは「1・2・3・4」の中から3枚で3桁を作ればよい。
4×3×2=24通り。
合わせて33個。
(2) [偶数]
「3」を2回使うときは332,334の2つのみ。
「3」を1回以下しか使わないとき
一の位は2通り。そのそれぞれに対して百の位は3通り。十の位は2通りなので
2×3×2=12通り。合わせて14個。
(3) [4の倍数]
「3」を2回使うときは332のみ。
「3」を1回以下しか使わないとき下2桁は「12」「24」「32」のみ
そのそれぞれについて百の位の決め方は2通りあるので2×3=6通り。
合わせて7個。
(4) [3の倍数]
「3」を2回使うときは「△・3・3」(△=1,2,4)となるが△にどれを選んでも和が3の倍数にならないので0個。
「3」を1回以下しか使わないとき和が3の倍数になる3枚の選び方は(1,2,3),(2,3,4)のみ。
それぞれについて並べ方が3!=6通りあるから2×6=12個。
(5) [3または4の倍数]
12の倍数になるのは(4)のうち4の倍数になるものであり,「132」「312」「324」「432」の4つ。
よって(3)(4)より7+12-4=15個。

たとえば6の倍数なら偶数かつ3の倍数という風に考えられます。つまり3の倍数になるように3枚を選び,偶数になるように並べ替えるということです。応用はいくらでもできるはずなので丸暗記では厳しいでしょう。仕組みを理解しておくことが大切です。

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