aPA+bPB+cPC=0を満たすPの位置(平面)

上野竜生です。平面ベクトルで\( a \vec{PA}+b\vec{PB}+c\vec{PC}=\vec{0} \)を満たす点Pがどの位置にあるか調べます。コツは始点をAに統一することです。

aPA+bPB+cPC=0を満たすPの位置(平面)

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問題

三角形ABCがある。\( a \vec{PA}+b\vec{PB}+c\vec{PC}=\vec{0} \)を満たす点Pをとる。
(1) Pはどの位置にあるか
(2) △PBCの面積は△ABCの面積の何倍か
答え(1)始点をAにそろえる。
\( -a \vec{AP}+b(\vec{AB}-\vec{AP})+c(\vec{AC}-\vec{AP})=\vec{0} \)
整理すると\( (a+b+c)\vec{AP}=b\vec{AB}+c\vec{AC} \)
∴\(\displaystyle \vec{AP}=\frac{b}{a+b+c}\vec{AB}+\frac{c}{a+b+c}\vec{AC}=\frac{b+c}{a+b+c} \left(\frac{b}{b+c}\vec{AB}+\frac{c}{b+c}\vec{AC} \right) \)
よって辺BCをc:bに内分する点をDとするとPはADを(b+c):aに内分する点。
位置ベクトル
(2)\(\displaystyle △BDP=\frac{a}{a+b+c}△ABD , △CDP=\frac{a}{a+b+c}△ACD \)より
△PBC=△BDP+△CDP=\(\displaystyle \frac{a}{a+b+c} \)(△ABD+△ACD)=\(\displaystyle \frac{a}{a+b+c} \)△ABC
となり、答えは\(\displaystyle \frac{a}{a+b+c} \)倍。
<(2)の別解 こちらを推奨>
底辺をBCとみると底辺は共通なので面積比は高さの比と等しく、それはAD:PDに等しいから(a+b+c):a
よって答えは\(\displaystyle \frac{a}{a+b+c} \)倍。
同様に△PCAは\(\displaystyle \frac{b}{a+b+c} \)倍,△PABは\(\displaystyle \frac{c}{a+b+c} \)倍で
△PBC:△PCA:△PAB=a:b:cとなります。

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