上野竜生です。今回はΣ計算の中で絶対値を含んだものを紹介します。絶対値を外してからΣ計算をするという基本的なことはもちろんですが,少し応用的な内容も含んでいるので1度目を通しておきましょう。

例題

\(\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{100} |x-n^2| \)とする。
(1)f(10000)とf(5000)をそれぞれ求めよ。
(2)f(x)の最小値を求めよ。

答え(1)1≦n≦100のとき|10000-n2|=10000-n2なので

\(\displaystyle f(10000)=\sum_{n=1}^{100} |10000-n^2|=\sum_{n=1}^{100} 10000-n^2 \\ \displaystyle =1000000-\frac{1}{6}100\cdot 101 \cdot 201=1000000-338350=661650\)

1≦n≦70のとき|5000-n2|=5000-n2
71≦n≦100のとき|5000-n2|=n2-5000なので

\(\displaystyle f(5000)=\sum_{n=1}^{70} (5000-n^2)+\sum_{n=71}^{100} (n^2-5000) \\ \displaystyle = 5000\cdot 70 – \frac{1}{6}70\cdot 71 \cdot 141 + (\frac{1}{6}100\cdot 101\cdot 201-\frac{1}{6}70 \cdot 71 \cdot 141)-5000\cdot 30 \\ =\displaystyle 5000\cdot 40 -\frac{1}{3}70 \cdot 71 \cdot 141 + \frac{1}{6}100 \cdot 101 \cdot 201 \\ = 200000-233590+338350 \\ =304760\)

(2)f(x)は1次式である。傾きを求めると
x<1ではすべての絶対値の中身がマイナスになるのでxの係数は-100
1≦x≦4では1つだけ絶対値の中身が正で残りは負だからxの係数は-98
n2≦x≦(n+1)2では正がn個残りは負だからxの係数は2n-100(1≦n≦99)
x≧10000ではxの係数が100である。
これをまとめると
x≦2500では単調減少,2500≦x≦2601では傾きが0,x≧2601では単調増加であるから最小値は2500≦x≦2601のときの値である。
この時の値は

\(\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{50} (x-n^2) + \sum_{n=51}^{100} (n^2 -x) \\ = \displaystyle -\frac{1}{6}50 \cdot51 \cdot 101 + (\frac{1}{6}100\cdot 101 \cdot 201-\frac{1}{6}50 \cdot 51 \cdot 101) \\ =\displaystyle \frac{1}{6}100\cdot 101\cdot 201-\frac{1}{3}50 \cdot 51\cdot 101 = 338350- 85850 = 252500 \)

最小値は少し直感に反していたかもしれません。実際に入試で出たこともあるので注意してみましょう。出題頻度がそれほど高いわけではありません。

数学はもちろん他の科目も勉強できる「スタディサプリ」なら人気講師の授業動画で、塾にいかなくてもまるで塾にいったかのような勉強ができます。塾と比較すると格安で、しかも無料おためしもできます。当サイトオススメのサイトです。


スタディサプリについて解説したページはこちら