積分の1/6公式や1/12公式などまとめ

上野竜生です。積分の公式をいくつかまとめておきます。

積分の裏ワザ

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積分公式

$$ \int_{a}^{b} (x-a)(x-b)dx=-\frac{1}{6} (b-a)^3 $$

これは重要です。ただし,必ず左辺の積分の式を書きましょう。記述式でいきなり1/6公式を使うと減点の可能性があります。

さらに放物線と接線で囲まれる領域の面積には面白い関係式が成り立ちます。

例題

\( f(x)=3x^2 + x \)とする。y=f(x)のグラフ上の点A(1,f(1)) , B(3,f(3))から接線を引き,交点をCとする。
(1) 線分ABとy=f(x)で囲まれる面積を求めよ。
(2) 三角形ABCの面積を求めよ。

裏技説明図

(1) A(1,4) , B(3,30)よりABの式はy=13x-9
よって求める面積は
\(\displaystyle \begin{eqnarray}
& & \int_{1}^{3} (13x-9)-(3x^2+x) dx \\
&=& \int_{1}^{3} (-3x^2+12x-9) dx \\
&=&-3\int_{1}^{3} (x-1)(x-3) dx \\
&=& -3 \cdot \frac{-1}{6} (3-1)^3\\
&=&4 \end{eqnarray} \)

(2) f'(x)=6x+1よりAから引いた接線の方程式は
\( y-4=7(x-1) \)つまり,\( y=7x-3 \)
同様にBから引いた接線の方程式は
\( y-30 = 19(x-3) \) つまり,\( y=19x-27 \)
これらの交点のx座標は7x-3=19x-27の解,つまりx=2
よって交点の座標はC(2,11)
A(1,4) , B(3,30) , C(2,11)をAが原点にくるように平行移動すると
A'(0,0), B'(2,26) , C'(1,7)
よって面積は\(\displaystyle \frac{1}{2}|2\cdot 7 – 26\cdot 1| = \frac{1}{2}\cdot 12=6\)

このように出せますがこの問題は検算ができます。

検算ポイント1:(1)の答えは1/6公式が適用できる。

直線の式はどうでもよく,放物線の最高次の係数が3,AとBのx座標の差は2だから1/6公式より
\( 3\cdot \frac{1}{6} \cdot 2^3 =4 \)
となり,答えが一致することが確かめられます。

検算ポイント2:Cのx座標

実はこのタイプの問題ではCのx座標はA,Bのx座標を足して2で割ったものになります。
Aのx座標は1,Bのx座標は3だからCのx座標は2にならないとダメです。

検算ポイント3:(2)の答えも裏技あり!

S1=(1)の部分の面積
S2=放物線と接線で囲まれた面積
S=S1+S2=(2)の部分の面積
とするとS1:S2=2:1という関係が必ず成り立ちます。つまりSはS1の1.5倍なのです。ということで4×1.5=6となり答えがあってることが確かめられました。

これらのポイントについては全部の係数をa,b,c・・・とおいて実際に積分計算すれば確かめられます。この事実を知っていれば計算時間を大幅に短縮できます。

3次や4次式についても同様の公式は存在します。

$$ \int_{a}^{b} (x-a)^2(x-b)dx=-\frac{1}{12} (b-a)^4 $$

$$ \int_{a}^{b} (x-a)^2(x-b)^2 dx =\frac{1}{30} (b-a)^5 $$

覚えておいて損はありませんが暗記ミスによる間違いが多発します。検算程度に使うのが良いでしょう。なお,理系の人はこれらを部分積分の公式から導くことができます。なので公式を使わず,部分積分の公式から出すのも手です。

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