3次関数の最大最小極大極小問題~頻出かつ簡単~

上野竜生です。3次関数の最大最小問題は非常に簡単なので計算間違いとの戦いです。確実に理解しましょう。

3次関数の最大・最小

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具体例

例題: \( f(x)=x^3-3x \)の極大値を求めよ。

この問題では1パターンです。

1. f(x)を微分する
2. f'(x)=0を解く
3. 増減表を書く(記述式でなければ実は不要
4. 値を求めて終わり。

実際にやってみます

\( f'(x)=3x^2-3 \)よりf'(x)=0の解はx=1,-1

増減表を書くと

$$\begin{array}{c|ccccc}
x & \cdots & -1 & \cdots & 1 & \cdots \\
\hline
f’(x) & + & 0 & – & 0 & + \\
\hline
f(x) & \nearrow & 極大 & \searrow & 極小 & \nearrow
\end{array} $$

よってx=-1のとき極大でその値はf(-1)=2

ところで増減表の「+」と「-」を間違えやすいですね。間違えやすいからf(-1)とf(1)を両方計算して大きいほうが極大、ってことでいいんじゃないの?って思った人に向けてその答えを書きます!

記述式でなく、多項式の場合はそれでOKです。

記述式なら増減表を書かないとほぼ確実に減点です。なので書きましょう。連続関数ならとりあえず1番大きいのは極大、1番小さいのは極小という考えでいいと思います。多項式は連続なのでそれでOKです。

多項式だけど記述式の場合

とりあえずこの方法で極大がどちらか判定した後で「+」「-」を決める裏技があります。要は書かないと減点になりやすいので本来とは順番が逆ですが後付けで書くという方針です。そこまでしてでも書く必要があります。

多項式じゃない場合

連続関数じゃない場合は極大値>極小値という関係式は成り立ちません。(反例: \(\displaystyle x+\frac{1}{x}\))

この場合は普通にf'(x)>0をといたほうが速い場合もあります。(慣れれば実は直感でもわかります)

最大最小問題

例題: x≧0のとき、\( f(x)=x^3-3x \)の最小値を求めよ。

これも正確には増減表を書きます。記述式ではそうしましょう。つまり、

$$\begin{array}{c|cccc}
x  & 0 & \cdots & 1 & \cdots \\
\hline
f’(x)  &  & – & 0 & + \\
\hline
f(x)  & 0 & \searrow & -2 & \nearrow
\end{array}$$
と書きます。増減表の段階でf(0)は求める必要がないことがわかります。

3次関数グラフ

記述式でない場合、最大は「極大」または「境界」のどちらかである、最小は「極小」または「境界」のどちらかであるということに注意してもとめましょう。この問題だとx≧0の極値の候補はx=1なのでx=1または境界のx=0のどちらかです。f(0),f(1)を計算し、小さいほうを答えればOKとなります。

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