3次式・4次式の因数分解と高次方程式の解法

上野竜生です。因数定理のページで少しだけ紹介しましたがもう少し詳しく3次式や4次式の因数分解の方法を紹介します。なお,特に指定がない限り整数の範囲で因数分解します。

3次式・4次式の因数分解

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2次式の因数分解(復習)

(i)x2-ax+b=(x-α)(x-β)と因数分解できるなら両辺を比較して
a=α+β,b=αβとなるから和がa,積がbになる2つの数α,βを見つければよい。

(ii)ax2+bx+cの因数分解はたすきがけで行う。つまり
ア×ウ=a , イ×エ=c , ア×エ+イ×ウ=bとなる数を見つければ(アx+イ)(ウx+エ)と因数分解できる。

2次式の因数分解

これらの証明はほぼ自明ですがどのようにして見つけるかと言うととにかく当てはめるという感じでした。つまり数字が大きすぎると当てはめる候補が多すぎて現実的に因数分解しにくいのですが問題集に載るぐらいの2次式だったらなんとかできる,という感じのものです。

2次式には解の公式があるので解の公式で解を求めてから逆算することもできます。

3次式の因数分解

3次式には解の公式がなくはないですが複雑すぎて知っていないはずなので解を求めてから逆算することはできません。とにかく当てはめる解法しか使えないのです。でも無限にある数字の中から全部を試すわけにはいきません。実は有限個に候補を絞ることができるのです。

3次式が因数分解できるとすると
ア) (1次式)×(2次式)
イ) (1次式)×(1次式)×(1次式)
のどちらかになります。いずれにせよ1次式で1回は因数分解でき,残った部分は2次式なので最初の1回目の因数分解だけできれば残りは2次式の因数分解の問題になります。

その「最初の1回目の因数分解」をする方法を考えます。

使う定理は因数定理です。

<因数定理>
多項式f(x)についてf(α)=0⇔f(x)は(x-α)で割り切れる。

x3+ax2+bx+cの因数分解

x3の係数が1の場合です。このときのαの候補はズバリ!

cの約数(±両方含む)です。

なぜならもしそうでなかったとするとc÷αは整数ではないことになります。このとき
f(α)=α3+aα2+bα+c=0が成り立ったとするとαで割った余りは両辺一致するはずです。

左辺をαで割った余りはc÷αの余りですが仮定より0ではなく,右辺をαで割った余りは0です。よって矛盾となります。

例題:f(x)=x3+4x2+4x+3を因数分解せよ。

f(α)=0となる候補は3の約数,つまり±1,±3の4つです。
これらを順番に試していけばOKです。

さらに今回はすべての係数が正なのでα=1,3は計算する必要がありません(明らかにf(α)>0になってしまうためf(α)=0ではない)

よってx=-1,-3を代入しましょう。

答えf(-1)=-1+4-4+3=2≠0

f(-3)=-27+36-12+3=0

よって(x+3)で割り切れる。割り算を実行すると

(x+3)(x2+x+1)

[2次式の部分は実数根をもたないのでこれ以上因数分解ができない]

ax3+bx2+cx+dの因数分解

この場合のαの候補はズバリ!

dの約数/aの約数 の形のもの(±含む)に限るということです。

それらに狙いを決めて組立除法で計算するのがオススメです。

例題:2x3+5x2+5x+3を因数分解せよ。

分母の候補は2の約数で±1,±2

分子の候補は3の約数で±1,±3に絞られます。

また先ほどの理由でプラスのものは不適なのでマイナスに絞られます。

よって可能性としては\( -1,-3,-\frac{1}{2},-\frac{3}{2} \)となります。

4パターンすべて組立除法で試すと\( -\frac{3}{2} \)だけが条件を満たすので割り算を実行すると

\( (x+\frac{3}{2})(2x^2+2x+2)=(2x+3)(x^2+x+1) \)と因数分解できます。

組立除法

4次式の因数分解

4次式は因数分解できるとすると
ア) (1次式)×(1次式)×(1次式)×(1次式)
イ) (1次式)×(1次式)×(2次式)
ウ) (1次式)×(3次式)
エ) (2次式)×(2次式)
のどれかになります。このうち,ア)ウ)の場合は1次式で割り切れるはずでつまり,因数定理が使えます。

α=±(定数項の約数)/(最高次の係数の約数)の形になっているものだけに絞ってf(α)=0となるか確かめればOKです。

しかし,すべてのαの候補に対しf(α)≠0となってもエ)の可能性が残っているので因数分解できないとは言い切れません。エ)のタイプの因数分解の方法を考えます。

2次式×2次式の場合の例

例題:f(x)=x4+4x3-21x2+10x-1=0を解け。

習ってもない4次式の解の公式を使え!という題意とは読み取れないのでそうでないとするなら必ず因数分解できるはずです。そう信じて因数分解の方針をとります。

答えf(x)が1次式で因数分解できるとする。
(x=±1に対しf(x)=0になるか確かめればよい)

f(1)=1+4-21+10-1=-7

f(-1)=1-4-21-10-1=-35

より1次式では因数分解できない。

f(x)が2次式で因数分解できるとする。

f(x)=(x2+ax+1)(x2+bx-1)とおく。展開すると

x4+(a+b)x3+abx2+(b-a)x-1となる。係数を比較すると

a+b=4 , ab=-21 , b-a=10となりこれを解くとa=-3, b=7

よってf(x)=(x2-3x+1)(x2+7x-1)となるからf(x)=0の解は

\( \displaystyle x=\frac{3\pm \sqrt5}{2} , \frac{-7 \pm \sqrt{53}}{2} \)

今回定数項が-1だったので-1を2つの整数の積にする方法が1通り(-1×1しかない)であることからこの形に置きましたが,これが定数項6とかだったら(x2+ax+b)(x2+cx+d)と置く必要がありますし最高次の係数が1でなければ(ax2+bx+c)(dx2+ex+f)などと置く必要があるかもしれません。文字の数を多くすれば確実ですがその分計算が大変になるのである程度確定するところは確定させてから展開をするほうが楽でしょう。

5次以上(主にn次)の場合

今までのように(○次式)×(△次式)パターンをすべて考えつくすのは至難の業です。

しかし,1次式で割り切れないかは考えられます。

たとえばx5-1であれば因数定理から(x-1)で割り切れます。

5次以上の式で,2次以上の積でしか因数分解できないタイプは非常に厄介です。問題の誘導がなければ現実的に不可能といっていいでしょう。

例:x2+x+1=0の解の1つをω\( =\frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2} \)とおき(1)でf(ω)を計算させると0になった場合,その多項式はx2+x+1で割り切れるなど。

問題の意図をしっかり読み取れるようにしないと時間内での因数分解はできないと思ってください。

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