2つの円の位置関係

上野竜生です。2つの円の位置関係は大きく分けて5種類あります。これについて考察しましょう

2つの円の位置関係

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円の問題の基本は「中心」を基準に考える

これからの図は2つの円の中心が同じ高さにある(まっすぐな)図しか考えませんがもし2つの円が全然違う高さにあったとしてもうまく回転してみれば必ず同じ高さ(y座標)に中心を持ってくることができます。

2つの円の半径をそれぞれr1,r2とし,2つの円の中心の距離をdとする。

このときdとr1,r2の大小関係によって次の5つの位置関係が考えられる

離れている d>r1+r2
外接する d=r1+r2
2点で交わる |r1-r2|<d<r1+r2
内接する d=|r1-r2|
含まれる d<|r1-r2|

丸暗記ではなく,図と照らし合わせると意味が理解しやすいです。

練習問題

円(x+5r)2+(y-4r)2=36と円x2-6rx+y2-8ry=0 (r>0)について
(1) 異なる2点で交わるような定数rの範囲を求めよ。
(2) 2つの円が接するような定数rの値を求めよ。
答え(1) x2-6rx+y2-8ry=0⇔(x-3r)2+(y-4r)2=(5r)2より
2つの円はそれぞれ
中心(-5r,4r) 半径6の円と
中心(3r,4r) 半径5rの円である。
2つの中心の距離は8rなので求める条件は
|5r-6|<8r<5r+6
右側の不等式はr<2となる。左側については
r≧\(\frac{6}{5}\)のとき5r-6<8rを解くとr>-2
0<r<\( \frac{6}{5} \)のとき6-5r<8rを解くと\( r>\frac{6}{13} \)
よって左側の不等式は\( r>\frac{6}{13} \)
以上より\( \frac{6}{13}<r<2 \)

(2)「内接」「外接」とは言っていないので両方求めましょう。

答え2つの円が外接するとき
8r=5r+6
⇒ 3r=6
⇒ r=2
2つの円が内接するとき
8r=|5r-6|
(1)と同様に解くと\( r= \frac{6}{13} \)
よって\( r= \frac{6}{13} ,  2 \)

最初の説明は理解できたのに練習問題になると難しい!(立式までが難しい)という人は少し理解不足です。図をイメージしましょう。

立式は出来たのに解けないという人は絶対値の扱いの理解が不足しています。このあたりを復習しておきましょう。

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