【クイズ】2・3次関数の1/6(1/3,1/12)公式正しく適用できますか?

上野竜生です。前回放物線に関連する1/6公式・1/12公式を紹介しました。今回はその復習と3次関数の1/12公式をまとめておきます。最後にクイズも用意したので理解度チェックとして挑戦してみてください。

【クイズ】1/6公式適用できますか?

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2次関数の1/3公式

2次関数の1/3公式

図のようにy=ax2+bx+cがx=αでx軸と接している。x座標がβである放物線上の点からx軸に垂線を下ろす。このとき赤い部分の面積は
$$ \frac{|a|}{3}(\beta-\alpha)^3$$

[証明]

a>0のときこの放物線の式はy=a(x-α)2だから

\( \displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} a(x-\alpha)^2 dx \\
\displaystyle =a \int_{0}^{\beta-\alpha} x^2 dx \\
\displaystyle =\frac{a}{3}(\beta-\alpha)^3 \)

aが負のときは符号が逆転するだけなので求める式を得る。

2次関数の1/6公式・1/12公式

前回紹介したものの結果のみを残します。

2次関数1/6公式

図の放物線のx2の係数をaとし,3つの破線は「αと書かれた点における放物線の接線」「βと書かれた点における放物線の接線」「αとかかれた点とβと書かれた点を通る直線」である。α,βはその点のx座標である。このとき

赤い部分の面積は\( \displaystyle \frac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3 \)

青い部分の面積は\( \displaystyle \frac{|a|}{12}(\beta-\alpha)^3 \)

さらに2つの接線の交点をCとするとCのx座標は\( \displaystyle \frac{\alpha+\beta}{2} \)

2次関数の1/12公式

これはあまり公式としては使わないほうがいいですが・・・

2次関数1/12公式

図のようにx2の係数がともにaである2つの放物線がある。それらの共通接線と放物線の交点のx座標がα,βであるとき赤い部分の面積は\( \displaystyle \frac{|a|}{12}(\beta-\alpha)^3 \)
さらに2つの放物線の交点Cのx座標は\( \displaystyle \frac{\alpha+\beta}{2} \)

[証明] 後半(納得できない人はすべて文字で置いて実際に計算してもOK。なおαと書かれた点を単に点αということにします。)

各放物線の式から接線の式を引くとx軸と点α’,β’で2つの放物線が接していることになる。(α’,β’はx座標がα,βと同じでy座標が0の点)
よって「Cとα’のy座標の差」=「Cとβ’のy座標の差」である。
x2の係数が等しいのだから「Cとα’のx座標の差」=「Cとβ’のx座標の差」でありCはα’,β’の中点であり,α,βの中点である。

前半 点Cからx軸に垂線を引きその線で赤い部分を2分割する。a>0のときのみ示す。

左側の面積は1/3公式より
\( \displaystyle \int_{\alpha}^{\frac{\alpha+\beta}{2}} a(x-\alpha)^2 dx=\frac{a}{3}\left(\frac{\alpha+\beta}{2}-\alpha\right)^3=\frac{a}{24}(\beta-\alpha)^3 \)

右側の面積も同様に

\( \displaystyle \int_{\frac{\alpha+\beta}{2}}^{\beta} a(x-\beta)^2 dx=-\frac{a}{3}\left(\frac{\alpha+\beta}{2}-\beta\right)^3=\frac{a}{24}(\beta-\alpha)^3 \)

(被積分関数を-1倍して積分区間を逆にし,1/3公式を使う。)

よって赤い部分の面積は\( \displaystyle \frac{a}{12}(\beta-\alpha)^3 \)

3次関数の1/12公式

3次関数の1/12公式 3次関数の1/12公式

x3の係数がaである3次関数で赤い部分の面積はどちらも\( \displaystyle \frac{|a|}{12}(\beta-\alpha)^4 \)

[証明]左のみ示す。aの扱いは今までと同様なのでa=1のときのみ示す。

左のグラフの3次関数の式はy=(x-α)(x-β)2だから部分積分すると

\( \displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)(x-\beta)^2 dx\\
=\displaystyle \left[\frac{1}{3} (x-\alpha)(x-\beta)^3\right]_{\alpha}^{\beta}-\int_{\alpha}^{\beta} \frac{1}{3} (x-\beta)^3 dx \\
=\displaystyle -\int_{\alpha}^{\beta} \frac{1}{3} (x-\beta)^3 dx\\
=\displaystyle -\left[\frac{1}{12}(x-\beta)^4\right]_{\alpha}^{\beta}\\
=\displaystyle \frac{1}{12}(\beta-\alpha)^4 \)

(別解)x-α=(x-β)+(β-α)を使う。

\( \displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)(x-\beta)^2 dx\\
=\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} \{(x-\beta)+(\beta-\alpha)\}(x-\beta)^2 dx\\
=\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} (x-\beta)^3 + (\beta-\alpha)(x-\beta)^2 dx\\
=\displaystyle \left[\frac{1}{4}(x-\beta)^4 + \frac{1}{3}(\beta-\alpha)(x-\beta)^3\right]_{\alpha}^{\beta}\\
=\displaystyle -\frac{1}{4} (\alpha-\beta)^4 -\frac{1}{3}(\beta-\alpha)(\alpha-\beta)^3\\
=\displaystyle \frac{1}{12}(\beta-\alpha)^3\)

x4以上になっても部分積分を使えば計算できます。応用上は部分積分で導くほうがいいでしょう。

クイズ

さて,ここまでいろんなパターンを紹介しましたが正しく適用できるかクイズを用意しました。今まで紹介したパターンと一見違うように見えても実は適用できる形だった・・・ということのないように練習しておきましょう。

f(x)=2x2-15x+30とする。

図はy=f(x)と点(2,f(2)),(8,f(8))を通る直線である。

赤い部分の面積はいくら?

問題1
問題1
6
12
36
72

正解です !

間違っています !

y=x2のグラフ上にx座標が1である点Aとx座標が7である点Bをとる。

A,Bから放物線y=x2の接線を引き,交点をCとする。

このとき赤い部分(三角形ABC)の面積はいくら?

問題2
問題2
18
36
54
72

正解です !

間違っています !

図のように3次関数y=x3-3x+5と

y=x3-2x2-2x+7が2点で交わっている。

交点のx座標をα,βとするとき赤い部分の面積はいくらか?

問題3
問題3
1/3×(β-α)^3
1/6×(β-α)^3
1/6×(β-α)^4
1/12×(β-α)^4

正解です !

間違っています !

下に凸の放物線y=ax2+bx+cと

上に凸の放物線y=a'x2+b'x+c'が

図のように2点で交わっている。

交点のx座標をα,βとするとき赤い部分の面積はどれか?

問題4
問題4
1/6 (β-α)^3
a/3 (β-α)^3
(a+a')/6 (β-α)^3
(a-a')/6 (β-α)^3

正解です !

間違っています !

図のようにy=x2上の点A(β,β2)から接線を引きx軸との交点のx座標をαとする。

このとき赤い部分の面積は  (β-α)3である。

空欄  に入る定数はどれ?

問題5
問題5
1/12
1/3
2/3
2

正解です !

間違っています !

図のように2つの放物線

y=x2-9x+28と4x2-81x+412がある。

2つの放物線の共通接線と放物線の交点のx座標は4,10であった。

このとき赤い部分の面積はいくらか?

問題6
問題6
32/3
18
32
45

正解です !

間違っています !

図のようにx3の係数が1である3次関数f(x)はx=αで極大値をとり,x=βで極小値をとる。

このときy=f(x)と直線y=f(β)で囲まれた赤い部分の面積は

  (β-α)4である。空欄に入る値はどれ?

問題7
問題7
4/243
1/12
27/64
4/3

正解です !

間違っています !

この定積分の値はいくらか?

問題8
問題8
-8
-4
4
8

正解です !

間違っています !

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