面積の求め方（積分）
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上野竜生です。面積を求める方法を学習しましょう。 基本 x=a,b(a<b)とy=f(x),x軸で囲まれた部分の面積は \( \displaystyle \int_a^b |f(x)| dx \) f(x)dxは縦 […]
2次試験対策
(x+√y)^nと(x-√y)^nの共役性について
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上野竜生です。√の共役性を証明したいと思います。 まず証明する内容はこれです。 \( (x+\sqrt{y})^n=a_n + b_n \sqrt{y} \)とする。このとき， \( (x-\sqrt{y})^n=a_n […]
サイクロイド（エピ/ハイポ)サイクロイドの性質
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上野竜生です。サイクロイドは有名な曲線で入試頻出です。性質をまとめました。 サイクロイド 定直線状を円が滑らずに転がるときの円周上の点の軌跡のことをサイクロイドという。 サイクロイドの媒介変数表示 \begin{eqna […]
数列～漸化式の解き方～
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上野竜生です。漸化式を解く正攻法をまとめました。 レベル１：等比数列 \(\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} a_1=a \\ a_{n+1}=ra_n \end{arra […]
積分の1/6公式や1/12公式などまとめ
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上野竜生です。積分の公式をいくつかまとめておきます。 積分公式 $$ \int_{\alpha}^{\beta} a(x-\alpha)(x-\beta)dx=-\frac{a}{6} (\beta -\alpha )^ […]
【クイズ】2・3次関数の1/6(1/3,1/12)公式正しく適用できますか？
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上野竜生です。前回放物線に関連する1/6公式・1/12公式を紹介しました。今回はその復習と3次関数の1/12公式をまとめておきます。最後にクイズも用意したので理解度チェックとして挑戦してみてください。 2次関数の1/3公 […]
4次関数の2重接線の方程式と囲まれた部分の面積
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上野竜生です。昔は数IIの微分が3次関数までだったので4次関数に関する知識はあまりいらなかったのですが最近は4次以上も扱うようになってきました。3次以下になくて4次関数にある特徴の１つに二重接線があります。その求め方と面 […]
反転(半直線上にOP・OQ=1となるQをとるときのQの軌跡)
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上野竜生です。反転幾何学というものがあり，その美しい性質は高校数学でも少し楽しめます。入試問題でもたまに見かけるので紹介します。 反転とは 高校では習いません（大学でも通常習いません）が，原点Oと点Pを結ぶ半直線上にOP […]
aのb乗の桁数・最高位の数字の計算方法
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上野竜生です。常用対数の問題でaのb乗の桁数や最高位の数・一の位を求めさせる問題があります。この解き方は一度習わないと思いつきにくいので教えておきます。 桁数を求める 例題：\( 3^{1000} \)は何ケタの整数か？ […]
相加相乗平均の関係の応用問題
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上野竜生です。相加相乗平均の関係を利用した応用問題を練習します。理系の人は微分を使って解けますがここでは文系や数IIまでしか使えない人のために相加相乗平均で解きます。なお，3変数の相加相乗平均までは既知とします。 [参考 […]
じゃんけんの確率・場合の数
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上野竜生です。じゃんけんに関する場合の数や確率の問題の性質をまとめてみました。 じゃんけんの確率 n人でジャンケンをするとき○○になる確率 と言われれば \( \displaystyle \frac{n人でジャンケンをす […]
垂直条件の式2パターン
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上野竜生です。直線が垂直に交わることを式で表現するとき2つの方法があります。その違いを理解しておきましょう。混同した式を書いてしまうミスを防ぐ方法を述べます。 直線の傾きの積が-1 直線l1：y=mx+bと、直線l2：y […]
解から方程式を求める問題の解き方
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上野竜生です。方程式を解いて解を求めるというのは基本ですが逆に解が与えられて方程式を作成する問題も出ます。こういう問題の解き方をまとめました。 基本は解と係数の関係 例題：x=\( \frac […]
√(x^2+a^2)の積分
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上野竜生です。√(x2+a2)の積分の計算方法を紹介します。 これは高校生ができる積分の中では最高難度といっていいでしょう。 今回考える積分 \(I=\displaystyle \int \sqrt{x^2 […]