群数列
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上野竜生です。群数列の典型的な問題を取り扱います。とりあえずこの問題が理解できれば応用もできるでしょう。 問題 分数の数列を次のように区切る \(\displaystyle \frac{1}{2} / \frac{1}{ […]
2次試験対策
2次関数の最大・最小問題全攻略
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上野竜生です。2次関数の問題の中で少し厄介な最大最小問題です。これについて考えてみます。ただし平方完成まではもうできているものとします。そこで躓いている人は平方完成の記事を読んでください。 最大も最小も可能性は「軸」か「 […]
2つの円の交点を通る直線や円の方程式
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上野竜生です。2つの円の交点を通る直線・2つの円の交点ともう１つの点を通る円の方程式を求める問題を解説します。地道にも解けますが計算量を減らす重要な考えなので読んでおきましょう。 今回学ぶこと f(x,y) […]
円に内接/外接する四角形の性質まとめ
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上野竜生です。円に内接する四角形・外接する四角形の性質はたくさんあります。それらをまとめてみました。 AB=a,BC=b,CD=c,DA=dとする。また四角形ABCDの対角線ACとCDの交点をEとする。 単に∠Aなどとか […]
平均値の定理とその入試問題的応用
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上野竜生です。平均値の定理はそれほど目立った定理ではなく手薄になりがちです。逆に言うと問題のパターンが少なく平均値の定理が使えそうなパターンが来たら「あ！これは平均値かも！」と感じることができます。 平均値 […]
t=(2次関数)とおいて4次関数の最大最小を求める方法
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上野竜生です。t=(何か)とおけば2次関数の問題になるタイプの応用問題の解き方を練習しましょう。t=(何か)とおけばその「(何か)」の取りうる範囲を求めることが必要です。 例題 xが実数全体を動くとき(x2+2x+3)2 […]
1の3乗根ωに関する問題
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上野竜生です。「1の3乗根のうち，1でないものの一つをωとする。このとき次の値を求めよ。」というタイプの解き方を紹介します。 ωの性質 ω3=1 かつ ω≠1（定義より明らか） 1を移項して因数分解するとω3-1=(ω- […]
円の極と極線(円外の点から引いた2つの接線の接点を通る直線)
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上野竜生です。円の極と極線に関する面白い性質を紹介します。考え方も独特なので是非目を通すことをオススメします。 ＜復習＞円の接線の公式 円x2+y2=r2の円周上の点(p,q)からひいた接線の方程式はpx+qy=r2 今 […]
方程式が共役な解とセットで現れることの証明
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上野竜生です。実数係数多項式がx=αを解に持つならばαと共役複素数も解にもつことは有名な事実だと思います。これを証明します。 実数係数多項式f(x)=0が\( x=\alpha\)を解にもつならば共役複素数\( x=\o […]
【超重要】接線の公式
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上野竜生です。今回は入試で頻出の接線の公式を解説していきたいと思います。 おさらい 点(a,b)を通り傾きmの直線の式は何か？ 原点を通り、傾きがmの直線の式はy=mxですね。 これをx軸方向にa、y軸方向 […]
eが無理数であることの証明
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上野竜生です。eが無理数であることの証明をしてみます。難関大入試ではたまに見ます。 \(\displaystyle a_n= \int_0^1 x^n e^{1-x}dx \)とおく。 \(\displaystyle \ […]
指数関数×三角関数の不定積分3通りの計算方法
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上野竜生です。∫eaxsinbxdxを計算するときどうしてますか？部分積分で解くのが正攻法ですがいろいろな解き方があります。ここでは部分積分も含めて3パターンのやり方で計算してみます。 今回計算する積分 不 […]
2つの関数の共通接線の求め方
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上野竜生です。共通接線の求め方を2パターン紹介します。 復習 2直線y=mx+nとy=m'x+n'が一致するための必要十分条件は m=m'かつn=n'である。 よく考えれば明らかだとは思いますがこのことは重要です 接点が […]
x,yが円や楕円上を動くときf(x,y)の最大最小問題
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上野竜生です。2変数関数の最大・最小問題の中で特に(x,y)が円や楕円上を動くときは三角関数の利用が有効です。実際にどう解くのか見てみましょう。初見では難しいですが共通テストでも頻出な良問です。 基本アイデア x2+y2 […]
角の2等分線の方程式
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上野竜生です。角の2等分線の方程式を求める練習をしてみましょう。 角の二等分線の求め方 1. tanの加法定理で求める →発想は単純ですが意外と大変かもしれません。 2. 点と直線の距離の公式を使う →この解法を理解して […]