aのb乗をNで割った余り
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上野竜生です。abをNで割った余りを求める問題を解いてみます。 「余り」の別表現 小学校では30÷7=4あまり2などと表現しましたが一般に N÷a=bあまりrであることを次のように表現することができます。 N=a・b+r […]
数A 整数
合同式 書き方に注意
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上野竜生です。合同式は便利ですが書き方を間違えている人，少し意味を間違えている人が多いです。そこで書き方に注意して書けるようにしましょう。 Aをnで割った余りとaをnで割った余りが等しいとき A≡a (mod n) とか […]
連続n整数の積は何の倍数？
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上野竜生です。連続n整数の積が○の倍数であることはよく使います。実際に確認してみましょう。なお，基本的には結果だけ覚えればいいでしょう。 連続2整数の積 n×(n+1)は必ず2の倍数になる。 [証明]nが偶 […]
ピタゴラス数の性質～「あまり」に着目～
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上野竜生です。a2+b2=c2を満たす整数(a,b,c)のことをピタゴラス数といいます。それについて性質をいくつか紹介します。整数問題のほかの問題にも応用が効きます。 あまりに着目せよ 例題１ 整数a,b,cがa2+b2 […]
n進法とは？
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上野竜生です。n進法については定義をしっかり理解しておけば高校範囲では問題ないでしょう。出題頻度はそれほど高くなく，定義に戻って考える時間はあるでしょう。 n進法の定義 n進法で\( a_k a_{k-1} \cdots […]
すべての整数nに対しf(n)が整数となる条件
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上野竜生です。すべての整数nに対し，f(n)が整数となる条件を求めるタイプを2問紹介します。意外とよく出ます。受験生なら差をつけるために知っておきたいところです。 パターン１ 実数係数多項式f(x)=ax2+bx+cがあ […]
ガウス記号に関する問題の解き方
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上野竜生です。ガウス記号が嫌いだという受験生も多いと思います。場合分けが多いのと等号がどっちになるか複雑だからでしょう。ここでやり方を身につけましょう。 ガウス記号とは 実数xに対し[x]はxの整数部分（xを超えない最大 […]
pCkがpの倍数であることとフェルマーの小定理
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上野竜生です。入試定番問題の１つであるpCkがpの倍数証明問題とフェルマーの小定理に関することを紹介します。pは素数とします。 pが素数ならばpCkはpの倍数（1≦k≦p-1）である。 証明は割と入試頻出です。丸暗記でも […]
(x+√y)^nと(x-√y)^nの共役性について
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上野竜生です。√の共役性を証明したいと思います。 まず証明する内容はこれです。 \( (x+\sqrt{y})^n=a_n + b_n \sqrt{y} \)とする。このとき， \( (x-\sqrt{y})^n=a_n […]