線形常微分方程式の解法

上野竜生です。線形常微分方程式の解法について紹介します。

まずは最もシンプルな場合です。yをxで微分したものをy'　，2回微分したものをy''　，3回微分したものをy'''・・・,n回微分したものを$y^{(n)}$ と書くことにします。

つまり，右辺は0，左辺はy,y',y'',y'''などの和やそのスカラー倍のみで書かれているものの場合

まず「y」に1を，「y'」にλを，「y''」に$\lambda^2$を，・・・「$y^{(n)}$」に$\lambda^n$を代入してできる方程式を解きます。その解をλ₁,λ₂,・・・,λ_nとします。

λの解に重解がないとき，$y=C_1 e^{\lambda_1 x}+C_2 e^{\lambda_2 x} + \ldots + C_n e^{\lambda_n x}$が常微分方程式の解になります。($C_1,C_2,\cdots ,C_n$は任意定数)

λの解に重解があるとき，例えば$λ_1$が重複度kの重解のときは$e^{\lambda_1 x}$の係数が$C_1$ではなく$(C_{1,1}+C_{1,2}x+\cdots +C_{1,k}x^{k-1})$という風にk-1次式になります。($C_{1,1},\cdots ,C_{1,n},\cdots , C_{n,n}$は任意定数)

例題

任意定数がC1,C2だったりA,B・・・だったりしますが特に意味はありません（見やすくするためです）

（１）右辺を移項するとy'-2y=0となるのでこれは線形常微分方程式です。

方程式はλ=2なので$y=Ce^{2x}$が解となります。

（２）　$\lambda^4-2\lambda^3-\lambda^2+2\lambda=(\lambda+1)\lambda(\lambda-1)(\lambda-2)$なので

この解はλ=-1,0,1,2となりもとの微分方程式の解は

$y=C_1 e^{-x} + C_2 e^{0x} +C_3e^{1x}+C_4e^{2x} \\ =C_1 e^{-x} +C_2+C_3 e^x + C_4 e^{2x}$

と求まります。

（３）$\lambda^4-5\lambda^3+9\lambda^2-7\lambda+2=(\lambda-1)^3(\lambda-2)$なので

この解はλ=1(3重解),2です。よってもとの微分方程式の解は

$y=[ ? ] e^x + C_2 e^{2x}$の形になり，3重解なので[ ? ]は2次式になります。よって

$y= (A+Bx+Cx^2)e^x+De^{2x}$が解です。

（４）$\lambda^2+1=0$の解はλ＝±i

よってもとの微分方程式の解は

$y=C_1e^{ix}+C_2e^{-ix}$

複素数も含めればこれでＯＫですがさらに計算することができます。

$y=C_1(\cos{x}+i\sin{x})+C_2(\cos{x}-i\sin{x})$

$C_1,C_2$は定数（複素数かもしれない）のでさらに実数値関数になるように整理します。すると

$y=A\cos{x}+B\sin{x}$と書くこともできます。

右辺が0でない場合

右辺が0でない場合もまずは右辺が0だと思って解き，その解を求めます。

さらに（左辺）＝（右辺）の方程式の解をなんでもいいので１つ見つけてきます。

その２つの答えを足したものが解となります。

例題

（１）～（３）ともにy''-4y=0の解$y=Ae^{2x}+Be^{-2x}$までは見つけたものとします。

（１）なんでもいいのでy''-4y=12を満たすものを探します。意外とすぐにy=-3が見つかります。（基本的に右辺が多項式の場合，答えも多項式だと思えばいいです）よって答えは

$y=Ae^{2x}+Be^{-2x}-3$となります。

（２）$y=Ce^{x}$が答えになりそう・・・と予想はできます。実際に左辺に代入すると$C=-\frac{1}{3}$となるので答えは$y=Ae^{2x}+Be^{-2x}-\frac{1}{3}e^x$となります。

（３）$y=De^{2x}$が答えになりそう・・・と予想できますが先ほどと違い，うまくいきません。なぜなら$De^{2x}$はすでに（右辺）＝０の場合の解になってしまっているからです。まるで重解をもっているようです。そこで$y=Dxe^{2x}$が答えになりそう・・・と予想します。これを左辺に代入すると

$D(4+4x)e^{2x}-4Dxe^{2x}=4De^{2x}=e^{2x}$となり$D=\frac{1}{4}$がわかります。よって答えは$y=(A+\frac{1}{4}x)e^{2x}+Be^{-2x}$となります。