留数定理と留数計算の実積分での応用例①（典型的な基礎パターン）

単純閉曲線Cとその内部Dにおいてf(z)はD内の点z₁,z₂,・・・,z_mを除いて正則とする。このとき
\(\displaystyle \int_C f(z)dz = 2\pi i \sum_{k=1}^n Res(f,z_k) \)

答え
図のような半円の経路を考える。円周の部分をC₁,実軸の部分をC₂とする。
C₁+C₂で囲まれる領域の中にある極を求める。
\( x^4+x^2+1=0 \)を解くと
\( (x^2+1)^2 - x^2=(x^2+x+1)(x^2-x+1)=0 \)
より\(\displaystyle x=\frac{-1\pm \sqrt{3}i }{2} , \frac{1 \pm \sqrt{3}i}{2} \)
よって\(\displaystyle \alpha=\frac{-1 + \sqrt{3}i }{2} , \beta=\frac{1+\sqrt{3}i}{2} \)とおくと，Rが十分大きいときはα,βが領域内にある極である。
よって留数定理より
\(\displaystyle \int_{C_1+C_2} \frac{dz}{z^4+z^2+1}=2\pi i (Res(\alpha)+Res(\beta)) \)
ここで
\(\displaystyle Res(\alpha)=\lim_{z\to \alpha} (z-\alpha)\frac{1}{z^4+z^2+1} \\ = \displaystyle \lim_{z\to \alpha} \frac{z-\alpha}{(z-\alpha)(z-\bar{\alpha})(z^2-z+1) } = \frac{1}{(\alpha-\bar{\alpha}) (\alpha^2 -\alpha+1)} \)
同様に
\(\displaystyle Res(\beta)=\lim_{z\to \beta} (z-\beta)\frac{1}{z^4+z^2+1} \\ = \displaystyle \lim_{z\to \beta} \frac{z-\beta}{(z-\beta)(z-\bar{\beta})(z^2+z+1) } = \frac{1}{(\beta-\bar{\beta}) (\beta^2 +\beta+1)} \)
ここで，\(\alpha-\bar{\alpha}= \beta-\bar{\beta}=\sqrt{3}i \)と，
\( \alpha^2+\alpha+1=0 \)つまり\(\alpha^2-\alpha+1=-2\alpha \)，
\( \beta^2-\beta+1=0 \)つまり\(\beta^2+\beta+1=2\beta \)
を用いると
\(2\pi i (Res(\alpha)+Res(\beta)) \\ = \displaystyle 2\pi i \left(\frac{1}{-2\alpha \cdot \sqrt{3}i } + \frac{1}{2\beta \cdot \sqrt{3}i } \right) = \pi \left( \frac{1}{-\sqrt{3}\alpha}+\frac{1}{\sqrt{3} \beta}\right) \\ =\displaystyle \frac{\pi}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\alpha - \beta}{\alpha \beta} \)
\(\alpha \beta=-1 , \alpha- \beta=-1 \)なので
\(\displaystyle \int_{C_1+C_2} \frac{dz}{z^4+z^2+1}=\frac{\pi}{\sqrt{3}} \)
次にC₁での積分を考える。
C₁の経路は\( z=Re^{i\theta} \)でθは0からπまで動くので
\(\displaystyle \int_{C_1} \frac{dz}{z^4+z^2+1}=\int_0^{\pi} \frac{1}{R^4 e^{4i\theta} + R^2 e^{2i\theta} +1} \cdot Rie^{i\theta} d\theta \)
となるので
\(\displaystyle \left| \int_{C_1} \frac{dz}{z^4+z^2+1} \right|= \left| \int_0^{\pi} \frac{1}{R^4 e^{4i\theta} + R^2 e^{2i\theta} +1} \cdot Rie^{i\theta} d\theta \right| \\ \displaystyle \leq \int_0^{\pi} \left| \frac{1}{R^4 e^{4i\theta} + R^2 e^{2i\theta} +1} \cdot Rie^{i\theta} \right| d\theta \\ \displaystyle = \int_0^{\pi} \left| \frac{R}{R^4 e^{4i\theta} + R^2 e^{2i\theta} +1} \right| d\theta \\ \leq \displaystyle \int_0^{\pi} \left| \frac{R}{R^4-R^2-1} \right| d\theta = \frac{R}{R^4-R^2-1}\pi \to 0 (R\to \infty ) \)
よって
\(\displaystyle \lim_{R\to \infty} \int_{C_1} \frac{dz}{z^4+z^2+1}=0 \)
となるから
\(\displaystyle \lim_{R\to \infty} \int_{C_2} \frac{dz}{z^4+z^2+1}=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{x^4+x^2+1}=\frac{\pi}{\sqrt{3}} \)

P,Qを実数係数の多項式でQの次数はPの次数より2以上大きいものとする。また，Q(z)=0は実数解をもたないとする。
\(\displaystyle f(z)=e^{iax} \frac{P(z)}{Q(z)} (a\geq 0) \)とすると
\(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x)dx = 2\pi i \sum_{Im(z)>0} Res(f,z) \)
ただし右辺のzはQ(z)=0の複素数解。

答え\( z=e^{i\theta} \)とおくと
\(\displaystyle \frac{dz}{d\theta} = ie^{i\theta} = iz \)
\(\displaystyle \cos{\theta}=\frac{z+z^{-1}}{2} \)

θ：0→2πのときzは|z|=1を1周する積分経路となる。よって
\(\displaystyle \int_0^{2\pi} \frac{d\theta}{(1+a\cos{\theta})^2 } =\int_{|z|=1} \frac{ \frac{dz}{iz} }{(1+a\cdot \frac{z+z^{-1}}{2})^2} \\ = \displaystyle \int_{|z|=1} \frac{4zdz}{i(az^2+2z+a)^2} \)
ここで|z|=1の内部にある極を求める。
\( az^2+2z+a=0 \)の解は\(\displaystyle z=\frac{-1\pm \sqrt{1-a^2} }{a} \)であるが，|z|=1の内部にある，つまり|z|<1を満たすのはプラスのほうのみ。←注
そこで，\(\displaystyle \alpha=\frac{-1+ \sqrt{1-a^2} }{a} , \beta=\frac{-1- \sqrt{1-a^2} }{a} \)とおく。
αは2位の極なのでαの留数は
\(\displaystyle \lim_{z\to \alpha} \frac{d}{dz} \left\{ \frac{(z-\alpha)^2 \cdot 4z}{a^2 i (z-\alpha)^2 (z-\beta)^2 } \right\} \\ = \displaystyle \frac{4}{a^2 i} \lim_{z\to \alpha} \frac{(z-\beta)^2 -2z(z-\beta)}{(z-\beta)^4} \\ = \displaystyle \frac{4}{a^2 i} \cdot \frac{(\alpha-\beta)-2\alpha}{(\alpha-\beta)^3} \)
よって留数定理より求める積分は
\(\displaystyle \int_{|z|=1} \frac{4zdz}{i(az^2+2z+a)^2} = 2\pi i \cdot \frac{4}{a^2 i} \cdot \frac{(\alpha-\beta)-2\alpha}{(\alpha-\beta)^3}\\ = \displaystyle \frac{-8\pi}{a^2} \cdot \frac{\alpha+\beta}{(\alpha-\beta)^3} \\ =\displaystyle \frac{8\pi}{a^2} \cdot \frac{2}{a} \cdot \frac{a^3}{(2\sqrt{1-a^2})^3} = \frac{2\pi}{(1-a^2)^{\frac{3}{2}}} \)

\(\displaystyle \int_0^{2\pi} F(\cos{\theta},\sin{\theta}) d\theta = \int_{|z|=1} F\left(\frac{1}{2}(z+\frac{1}{z}) , \frac{1}{2i}(z-\frac{1}{z}) \right) \frac{dz}{iz} \)

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