ガンマ関数とベータ関数

上野竜生です。大学の微分積分で習うベータ関数やガンマ関数の性質についてまとめていきたいと思います。

ガンマ関数・ベータ関数の定義

この関数はx>0,y>0で成り立ちます。（もっと言えば複素数でも実部が正なら定義できる）

特にガンマ関数は階乗の拡張とも考えられる美しい関数です。

基本的性質

ガンマ関数

• Γ(1)=1=0!
• Γ(x+1)=xΓ(x)　（部分積分をすれば容易）
• Γ(n)=(n-1)!
• Γ(0.5)=√(π)

最後の性質はそんなに自明ではなく高校範囲からははずれ，大学でもなかなか最初のうちは計算できません。一応証明しておきます。

[証明]

\(\displaystyle  \Gamma \left(\frac{1}{2} \right)=\int_0^{\infty} \frac{e^{-t}}{\sqrt{t}} dt \)

t=p²と置換すると\( \displaystyle \int_0^{\infty} \frac{1}{p}e^{-p^2} \cdot 2pdp=2\int_0^{\infty} e^{-p^2}dp\)

両辺2乗すると

\( \displaystyle \Gamma \left( \frac{1}{2}\right)^2 = \left(2\int_0^{\infty} e^{-p^2}dp \right)^2=4\int_0^{\infty} \int_0^{\infty} e^{-p^2}\cdot e^{-q^2} dp dq\)

極座標変換するとヤコビアンがrであることと，θの範囲は\( 0 \to \frac{\pi}{2} \)であることに注意して

\(\displaystyle 4\int_0^{\infty} \int_0^{\infty} e^{-p^2-q^2} dp dq\\
\displaystyle=4\int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{\infty} e^{-r^2} rdr d\theta \\
\displaystyle =4 \int_0^{\frac{\pi }{2}} \left[ -\frac{1}{2}e^{-r^2} \right]_0^{\infty} d\theta\\
\displaystyle =4\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2} d\theta=\pi \)

よって\( \Gamma(\frac{1}{2})^2=\pi \)より\( \Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi} \)　　(証明終)

ベータ関数

• B(x,y)=B(y,x)　(s=1-tと置換する)
• xB(x,y+1)=yB(x+1,y)
• B(x,y)=B(x+1,y)+B(x,y+1)
• B(x,y)=\(\displaystyle \frac{\Gamma(x) \Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}\)(証明は複雑。概略だけ下に示す。)
• 特にx,yが整数ならばB(x,y)=\( \displaystyle \frac{(x-1)!(y-1)!}{(x+y-1)!}\)（上の式を使わずに部分積分を繰り返して示すこともできる）
• \(\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} (s-\alpha)^x(s-\beta)^yds=(-1)^y (\beta-\alpha)^{x+y+1} B(x+1,y+1)\)　（t=(β-α)s+αと置換）

最後の性質は積分の6分の1公式の一般化ともいえます。

４番目の性質の概略

Γ(x)Γ(y)を書き出し，そこにある被積分関数をt=u²と置換する。さらに極座標変換を用いrとθの積分にする。rのほうの積分はΓ(x+y)と等しいことがわかる（t=r²を再びtに戻すイメージ。）θのほうの積分はt=sin2θと置換するとθが消去できベータ関数の定義式と等しいことが示せる。よってΓ(x)Γ(y)=Γ(x+y)B(x,y)となり証明は完了する。