部分ベクトル空間かどうかの判定

答え(1)M₁の要素は\(\left( \begin{array}{c} 0 \\ y \end{array} \right) \)とかけるからM₁から2つの要素\( \boldsymbol{u}=\left( \begin{array}{c} 0 \\ a \end{array} \right) , \boldsymbol{v}= \left( \begin{array}{c} 0 \\ b \end{array} \right) \)を取ってくる。
\( \boldsymbol{u}+\boldsymbol{v} \in M_1 , k\boldsymbol{u} \in M_1 \)を示せばよい。

でどちらもx成分が0だから\(M_1 \)に属する。よって\(M_1 \)は\(\mathbb{R}^2 \)の部分空間である。
(2)\( M_1 \cap M_2 \)の要素は\( \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right)\)のみである。

はともに\(M_1 \cap M_2 \)に属するから\(M_1 \cap M_2 \)は\(\mathbb{R}^2 \)の部分空間である。
(3)何か具体的な反例を見つければよい。(1)よりM₁どうし，M₂どうしだと部分空間になるからM₁の元(要素)とM₂の元を足してみるのが怪しいと予想できるはず。
\( M_1 \cup M_2 \)から2つの元\( \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right),\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) \)を取ってくる。
この和は
\(\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right) \)となり\( M_1\cup M_2 \)には属さない。
よって\( M_1 \cup M_2 \)は\(\mathbb{R}^2 \)の部分空間ではない。

答え(1)　直感的には定数項が邪魔するので部分空間とはならなさそう。というわけで反例を探しましょう。具体的にM₁の元2つ取ってきて足すかスカラー倍した結果がM₁の元にならないものを探しましょう。
M₁の元として\(\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right), \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \)を取ってくるとこれらの和は
\( \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \)となり，これはM₁に属さないので部分空間ではない。
以下では（縦ベクトルが面倒なので）ベクトルを横に書きます。手で答案を作成するときは縦ベクトルの方が見やすくて良いでしょう。
(2)　直感的には部分空間になりそうなので証明する方針でいきます。
M₂の元を2つ(x_A,y_A,z_A),(x_B,y_B,z_B)とってくる。（x_A+y_A+z_A=0 , x_B+y_B+z_B=0)
このときこの２つの和は(x_A+x_B , y_A+y_B , z_A+z_B)となり(x_A+x_B)+(y_A+y_B)+(z_A+z_B)=0だからこれもM₂の元である。
またスカラー倍はk(x_A,y_A,z_A)=(kx_A,ky_A,kz_A)となりkx_A+ky_A+kz_A=0だからこれもM₂の元である。よってM₂は部分空間である。
(3)　直感的には部分空間でないので反例探しです。和では見つからなさそうなのでスカラー倍で反例を探しましょう。
M₃の元(1,0,0)をとってくる。-1倍すると(-1,0,0)となり-1≧0ではないのでこれはM₃の元ではない。よって部分空間ではない。
(4)　x-y=0かつx-z=0なので直感的には部分空間です。証明しましょう。
M₄の元を2つ(x_A,y_A,z_A),(x_B,y_B,z_B)とってくる。（x_A=y_A=z_A , x_B=y_B=z_B)
このときこの２つの和は(x_A+x_B , y_A+y_B , z_A+z_B)となり(x_A+x_B)=(y_A+y_B)=(z_A+z_B)だからこれもM₄の元である。
またスカラー倍はk(x_A,y_A,z_A)=(kx_A,ky_A,kz_A)となりkx_A=ky_A=kz_AだからこれもM₄の元である。よってM₄は部分空間である。
(5)　ここまで来ればM₅は全然部分空間になりそうな気配がないのでなんとでも反例はあげれるでしょう。和でもスカラー倍でも無作為に例をあげれば基本的に反例になるので反例探しは苦労しないでしょう。
M₅の元を(1,0,0)ととると2倍すれば(2,0,0)でこれはM₅の元ではない。よって部分空間ではない。

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