大学の微分積分学　試験対策（模擬試験）

上野竜生です。普段は高校生向けの数学を扱っていることが多いですが大学生の単位を取る定期試験対策として微分積分学（おそらく1年前期）に頻出の問題を集めてみました。マークシート式で答えるタイプで自動採点もしてくれるので試験対策にぜひ役立ててください。挑戦してくれた人には解答・解説付きです。

解答上の注意

・紙と鉛筆を持って本格的に解くことを想定しています。

・自動採点に入力する際に操作ミスで入力途中のデータが消えると萎えるので解答は紙にメモしながら解き、最後にまとめて入力することをオススメします。

・いろんな大学の試験問題などを分析してある程度共通して出題される頻出問題を取り上げています。教授によっては全然違う形で出題されることもあります。

・試験1日前に解くことも想定して一瞬で採点できるマークシート式の問題にしています。記述問題はありませんが導出過程や証明も大事にしましょう。

解答用紙の記入の注意

空欄1つに2ケタ以上が入るかもしれません。1つの問に複数の空欄がある場合は半角カンマ(,)で区切って入力してください。なお必ず整数値を入力してください（下の例2参照）

例１：　[ア]\(\sqrt{[イ]}\)に\( 12\sqrt{2} \)と解答する場合　[ア,イ]の解答欄に12,2と入力しなさい。

例２：　\([ア]x^2+[イ]x+[ウ] \)に\( x^2-x \)と解答する場合[ア,イ,ウ]の解答欄に1,-1,0と入力しなさい。

例３：　アに選択肢③を解答する場合[ア]の解答欄に3と入力しなさい。

第1問　極限について以下の問に答えよ。（配点10）

問１　\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{x}-\frac{1}{e^x-1} \right) \)の値は[　ア　]である。

問２　\(\displaystyle \lim_{x\to 0} \left\{ 2- (1-x)^4 \right\}^{\frac{2}{x}} \)の値は[　イ　]である。

第2問　\( f(x)=\frac{\arcsin{x}}{\arccos{x}} \)とする。以下の問に答えよ。(配点20)

問1　一般に\( \arcsin{x}+\arccos{x}=\)[　ウ　]であるから\(\displaystyle f(\sin{\frac{7}{11}\pi})=\frac{[エ]}{[オ]} \)である。

問2　\( \arccos{x} \)をxで微分すると\(\displaystyle \frac{[カ]}{[キ]}\)である。

問3　f(x)の導関数f’(x)は[ウ][キ]を用いて表現すると[ク]である。

第3問　f(x)=xlog(x+1)とする。(配点20)

(1)　第1次導関数をf’(x)とするときf’(0)= [ケ]である。

(2)　第2次導関数をf’’(x)とするときf’’(0)=[コ]である。

(3)　f(x)のx=0におけるテイラー展開を計算した上でf(0.01)の近似値を小数第8位を切り捨てて小数第7位まで求めると
f(0.01)≒0.[サ]
となる。（Hint:テイラー展開の最初の2項までの部分に代入すればよい）

第4問　マクローリン展開の応用について以下の問いに答えよ。（配点10）

\(\displaystyle \frac{1}{1-x} , \frac{1}{2-x} \)のマクローリン展開を
\(\displaystyle \frac{1}{1-x}=a_0 + a_1 x+ a_2 x^2 + a_3 x^3 + \cdots ,\)
\(\displaystyle \frac{1}{2-x}=b_0 + b_1 x+ b_2 x^2 + b_3 x^3 + \cdots \)とする。

また，\(\displaystyle \frac{1}{(1-x)(2-x)} \)のマクローリン展開を
\(\displaystyle \frac{1}{(1-x)(2-x)}=c_0 + c_1 x+ c_2 x^2 + c_3 x^3 + \cdots \)とする。以下の問に答えよ。(配点10)

問1　\( b_7 = 2^{[シ]}\)である。

問2　\(\displaystyle \frac{1}{2-x}\)の級数の収束半径は[ス]である。

問3　\(c_n \)と\( a_n,b_n \)の関係として正しいものを以下の中から選べ。[セ]

第5問　定積分について次の計算をせよ。(配点20）

(1)　\(\displaystyle \int_1^3 x^3 \log{(1+x^2)} dx = [ソ]\log{([タ])} - [チ]\)

(2)　\(\displaystyle \int_1^{\infty} \frac{dx}{x^3+x^2+x+1} = \frac{\pi}{[ツ]}-\frac{\log{[テ]}}{[ト]}\)

第6問　面積・回転体の体積(配点10)

\( y=x^2 \)と\(\displaystyle y=\sin{\left(\frac{\pi}{2}x\right)} \)（0≦x≦1)で囲まれる部分をDとする。

(1)　Dの面積は\(\displaystyle \frac{[ナ]}{\pi}-\frac{1}{[ニ]}\)である。

(2)　Dをx軸中心に1回転させてできる回転体の体積は\(\displaystyle \frac{[ヌ]}{[ネ]}\pi \)である。

第7問　媒介変数表示の微分(配点10）

媒介変数tを用いて
\(\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x=t-\sin{t} \\ y=1-\cos{t}  \end{array} \right.\end{eqnarray} \)
と表されるとき\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{[ノ]}{[ハ]} \)、\(\displaystyle \frac{d^2 y}{dx^2 }=\frac{[ヒ]}{[フ]} \)である。

問題は以上です。

解答用紙

解答用紙はGoogleフォームを使用しています。Googleフォーム内の「送信」を押すと採点されます。