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上野竜生です。今回は2変数関数の合成関数の微分を覚えましょう。
証明をするとすこし厄介なので教科書に任せて，結果と適用を中心に慣れていきましょう。

合成関数の微分

1変数のとき(復習)

z=f(x)とx=g(t)の合成関数z=f(g(t))の微分は
\[ \frac{dz}{dt}=\frac{df}{dx}\cdot \frac{dx}{dt} \]

2変数のとき(基本)

基本と書いてますが1番複雑なときを先に紹介します。これを先に覚えれば残りのは簡単です。

POINTz=f(x,y)とx=φ(s,t),y=ψ(s,t)の合成関数の偏微分は下の通り
\[ \frac{\partial z }{\partial s}=\frac{\partial f}{\partial x}\cdot \frac{\partial x}{\partial s}+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot \frac{\partial y}{\partial s} \]
\[ \frac{\partial z }{\partial t}=\frac{\partial f}{\partial x}\cdot \frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot \frac{\partial y}{\partial t} \]

1変数とほとんど同じで，zをsで偏微分したい場合，まずfをxで偏微分した後，xをsで偏微分したものをかけます。同様にyで偏微分したあとyをsで偏微分したものをかけて足し合わせます。

これを覚えておけば派生パターンもすぐに理解できるでしょう。

z=f(x,y)とx=φ(t),y=ψ(t)の合成関数の偏微分

\[ \frac{d z }{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\cdot \frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot \frac{dy}{dt} \]

z=f(x)とx=φ(s,t)の合成関数の偏微分

\[ \frac{\partial z }{\partial s}=\frac{df}{dx}\cdot \frac{\partial x}{\partial s} \]
\[ \frac{\partial z }{\partial t}=\frac{df}{dx}\cdot \frac{\partial x}{\partial t} \]

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例題１

\( f(x,y)=\log{(x^2+xy+y^2+1)} , g(r,\theta)=(r\cos{\theta},r\sin{\theta}) , h(t)=(e^t+e^{-t} , e^t-e^{-t}) \)

とする。
\(\displaystyle \frac{\partial (f \circ g)}{\partial r},\frac{\partial (f \circ g)}{\partial \theta},\frac{d (f \circ h)}{dt} \)を計算せよ。

このように書かれると少しわかりにくいですが
\((f\circ g)(r,\theta)=f(r\cos{\theta} , r\sin{\theta}) \)
とかけば\(x=r\cos{\theta} , y=r\sin{\theta} \)として公式
\(\displaystyle \frac{\partial (f \circ g) }{\partial r}=\frac{\partial f}{\partial x}\cdot \frac{\partial x}{\partial r}+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot \frac{\partial y}{\partial r} \)
などが使えますね。

答え

\(\displaystyle \frac{\partial (f \circ g)}{\partial r}= \frac{2x+y}{x^2+xy+y^2+1}\cos{\theta} + \frac{x+2y}{x^2+xy+y^2+1}\sin{\theta}
\\ = \displaystyle \frac{(2r\cos{\theta}+r\sin{\theta})\cos{\theta} + (r\cos{\theta}+2r\sin{\theta})\sin{\theta}}{r^2+r^2 \sin{\theta}\cos{\theta}+1} \\ = \displaystyle \frac{2r(1+\sin{\theta}\cos{\theta})}{r^2+r^2\sin{\theta}\cos{\theta}+1} \)
\(\displaystyle \frac{\partial (f \circ g)}{\partial \theta}= \frac{2x+y}{x^2+xy+y^2+1}(-r\sin{\theta}) + \frac{x+2y}{x^2+xy+y^2+1}(r\cos{\theta})
\\ = \displaystyle \frac{(2r\cos{\theta}+r\sin{\theta})(-r\sin{\theta}) + (r\cos{\theta}+2r\sin{\theta})(r\cos{\theta})}{r^2+r^2 \sin{\theta}\cos{\theta}+1} \\ = \displaystyle \frac{r^2\cos{2\theta}}{r^2+r^2\sin{\theta}\cos{\theta}+1} \)

\( x=e^t+e^{-t} , y=e^t-e^{-t} \)とおくと
\(\frac{dx}{dt}=y , \frac{dy}{dt}=x \)になることに注意。

\(\displaystyle \frac{d (f \circ h)}{dt}=\frac{2x+y}{x^2+xy+y^2+1}y+\frac{x+2y}{x^2+xy+y^2+1}x =\frac{(x+y)^2+2xy}{(x+y)^2-xy+1} \)

\( (x+y)^2=(2e^t)^2=4e^{2t} , xy=e^{2t}-e^{-2t} \)より求める結果は
\(\displaystyle \frac{6e^{2t}-2e^{-2t}}{3e^{2t}+e^{-2t}+1} \)

このようにすべて具体的に書かれていれば先に合成関数を計算しちゃうこともできますね。
\( (f\circ g)=\log{(r^2+r^2\sin{\theta}\cos{\theta}+1)} \)
\( (f\circ h)=\log{(3e^{2t}+e^{-2t}+1) } \)
ですが合成関数の練習として解答でやる訓練もしましょう。

例題２

\(\mathbb{R}^2 \)上のC2級関数f(x,y)とx=rcosθ,y=rsinθとの合成関数を
g(r,θ)=f(rcosθ,rsinθ)とする。
(x,y)≠0ならば以下の関係式が成り立つことを証明せよ。

\[ f_{xx}(x,y)+f_{yy}(x,y)=g_{rr}(r,\theta ) +\frac{1}{r} g_r (r,\theta) + \frac{1}{r^2} g_{\theta \theta} (r,\theta) \]

答え

\(\displaystyle g_r=f_x \left( \frac{\partial x}{\partial r} \right) +f_y \left( \frac{\partial y}{\partial r} \right)=f_x \cos{\theta}+f_y \sin{\theta} \)
\(\displaystyle g_{rr}=\left\{ (f_x)_x \left( \frac{\partial x}{\partial r} \right) + (f_x)_y \left( \frac{\partial y}{\partial r} \right) \right\} \cos{\theta}+\left\{ (f_y)_x \left( \frac{\partial x}{\partial r} \right) + (f_y)_y \left( \frac{\partial y}{\partial r} \right) \right\} \sin{\theta} \\ = (f_{xx}\cos{\theta} + f_{xy} \sin{\theta})\cos{\theta}  +(f_{yx} \cos{\theta} + f_{yy}\sin{\theta})\sin{\theta} \\ = f_{xx} \cos^2{\theta} + 2f_{xy}\sin{\theta}\cos{\theta} + f_{yy} \sin^2{\theta} \)
\(\displaystyle g_{\theta}=f_x \left( \frac{\partial x}{\partial \theta} \right) +f_y \left( \frac{\partial y}{\partial \theta} \right) =-f_x r\sin{\theta}+f_y r\cos{\theta} \)
\(\displaystyle g_{\theta \theta} = -\left\{ (f_x)_x \left( \frac{\partial x}{\partial \theta} \right) +(f_x)_y \left( \frac{\partial y}{\partial \theta} \right) \right\} r\sin{\theta} -f_x r \cos{\theta} + \left\{ (f_y)_x \left( \frac{\partial x}{\partial \theta} \right) +(f_y)_y \left( \frac{\partial y}{\partial \theta} \right) \right\} r\cos{\theta} - f_y r \sin{\theta} \\ = f_{xx} r^2 \sin^2{\theta} - f_{xy} r^2 \sin{\theta}\cos{\theta} - f_x r \cos{\theta}-f_{yx} r^2 \sin{\theta}\cos{\theta} + f_{yy} r^2 \cos^2{\theta} - f_y r \sin{\theta} \)

よって

\(\displaystyle \frac{1}{r} g_r + \frac{1}{r^2} g_{\theta \theta}=f_{xx} \sin^2{\theta} -2f_{xy} \sin{\theta}\cos{\theta}+f_{yy}\cos^2{\theta} \)
∴\(\displaystyle g_{rr}+\frac{1}{r}g_r + \frac{1}{r^2} g_{\theta \theta} =f_{xx}+f_{yy} \)

例題２は極座標変換の公式として知られているので学部によっては結果を暗記する必要もあるかもしれません。

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