1階常微分方程式の解法

答えy'=(2x+1)yより変数分離できる。y=0のとき微分方程式を満たす。y≠0のとき両辺をyで割って

\( \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=2x+1 \)
\( \int \frac{dy}{y}=\int (2x+1) dx \)

\(\log{|y|}=x^2+x+C\) (Cは定数)

よって\( |y|=e^{x^2+x+C}\)

\(y=Ae^{x^2+x}\) (A≠0)

y=0もあわせるとA=0も含めて\( y=Ae^{x^2+x} \)(Aは任意定数)

答え両辺にe^-cosxをかけると

y'e^-cosx+(sinx)e^-cosxy=3sinxe^-cosx

{e^-cosxy}'=3sinxe^-cosx

e^-cosxy=3e^-cosx+C　（右辺を積分しただけ。Cは積分定数）
y=3+Ce^cosx

xの係数を比較するとab=0　よって(a,b)=(3,0),(-3,0)

以上よりy=±3x

(2)１つの解y=3xが見つかったのでu=y-3xとおく。

\(u'+3=9x+\frac{u+3x}{x}-\frac{u^2+6ux+9x^2}{x} \)

\(u'=-3+9x+\frac{u}{x}+3-\frac{u^2}{x}-6u-9x\\=(\frac{1}{x}-6)u-\frac{u^2}{x}\)

\( u'+(6-\frac{1}{x})u=-\frac{1}{x}u^2 \)となりベルヌーイ形になる。

答え\( u'+(6-\frac{1}{x})u=-\frac{1}{x}u^2 \)

v=u^1-2=u^-1とおくとv'=-u^-2u'となるので両辺に-u^-2をかけると

\(v'-(6-\frac{1}{x})v=\frac{1}{x} \)

これは線形タイプ。\( 6-\frac{1}{x} \)の原始関数は6x-logx

両辺にe^-(6x-logx)=xe^-6xをかけると

\( xe^{-6x}v'-(6-\frac{1}{x})xe^{-6x}v=e^{-6x} \)

左辺=\( \{xe^{-6x}v \}'\)なので

\( xe^{-6x}v=-\frac{1}{6}e^{-6x}+C \)

\( v=-\frac{1}{6x}+\frac{Ce^{6x}}{x} \)

\( u=\frac{1}{v}\)より\( u=\frac{6x}{-1+6Ce^{6x}} \)

y=u+3xより\( y=3x+\frac{6x}{-1+Ae^{6x}} \)

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