上野竜生です。問83の答えを発表します。
問83 ★
\(1\leq x\leq e^{\pi} \)かつ\( 0\leq y\leq 1\)の領域のうち\(y=\sin{(\log{x})} \)より下側の部分をA、上側の部分をBとする。Aの面積とBの面積はどちらが大きいか？
答え
A+Bの面積は\( (e^{\pi}-1) \cdot (1-0)=e^{\pi}-1 \)なので
Aの面積と\(\displaystyle \frac{e^{\pi}-1}{2} \)の大小を比較すれば良い。
Aの面積は
\(\displaystyle A=\int_1^{e^{\pi}} \sin{(\log{x})} dx \)
\( t=\log{x} \)と置換すると\(\displaystyle t : 0 \to \pi , \frac{dt}{dx}=\frac{1}{x}=\frac{1}{e^t} \)なので
\(\displaystyle A=\int_0^{\pi} e^t \sin{t}dt \\ \displaystyle = [e^t \sin{t}]_0^{\pi} - \int_0^{\pi} e^t \cos{t}dt \\ \displaystyle = [-e^t \cos{t}]_0^{\pi} - \int_0^{\pi} e^t \sin{t}dt \\ \displaystyle = e^{\pi}+1 -A \)
よって\(\displaystyle A=\frac{e^{\pi}+1}{2}> \frac{e^{\pi}-1}{2}=\frac{A+B}{2} \)となるからA>B
Aの面積のほうが大きい。
正解者：1名（古春さま）
解説を読んで数学がわかった「つもり」になりましたか？数学は読んでいるうちはわかったつもりになりますが演習をこなさないと実力になりません。そのためには問題集で問題を解く練習も必要です。オススメの参考書を厳選しました
<高校数学>上野竜生です。数学のオススメ参考書などをよく聞かれますのでここにまとめておきます。基本的にはたくさん買うよりも…
上野竜生です。大学数学の参考書をまとめてみました。フーリエ解析以外は自分が使ったことある本から選びました。 大…
上野竜生です。当サイトでも少し前まで各ページで学習サイトをオススメしていましたが他にもオススメできるサイトはた…
