今週の問題　問76　答え｜数学の偏差値を上げて合格を目指す

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上野竜生です。問76の答えを発表します。

問76　★

$ \cos{\theta} \neq 0$とする。
$\vec{a}=(\sin{\theta} , \cos{\theta} , \tan{\theta} ) $とおく。
(1)　$ |\vec{a}|^2 $を$\cos{\theta} $のみの式で表せ。
(2)　次の不等式を証明せよ
$\displaystyle \sin{\theta} \cos{\theta} + \cos{\theta}\tan{\theta} + \tan{\theta}\sin{\theta} < \frac{1}{\cos^2{\theta}}$

答え

(1)
$ |\vec{a}|^2 = \sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}+\tan^2{\theta} \\
=1+\tan^2{\theta} \\ \displaystyle = 1+\frac{\sin^2{\theta}}{\cos^2{\theta}} \\ =\displaystyle \frac{1}{\cos^2{\theta}} $

(2)
$ \vec{b}=(\cos{\theta} , \tan{\theta} , \sin{\theta} ) $とおく。
$ \vec{a} ,\vec{b} $のなす角を$\alpha $とすると
$ \vec{a} \cdot \vec{b}= |\vec{a}||\vec{b}| \cos{\alpha} $だから
$ \vec{a}\cdot \vec{b} \leq |\vec{a}||\vec{b}| $
(等号成立は$\vec{a}=k\vec{b} $のとき)
明らかに$|\vec{a}|=|\vec{b}|$なので計算すると
$ \sin{\theta} \cos{\theta} + \cos{\theta}\tan{\theta} + \tan{\theta}\sin{\theta} \\ \displaystyle \leq |\vec{a}|^2 = \frac{1}{\cos^2{\theta}} $
あとは等号が成立しないことを示せばよい。
等号が成立すると仮定すると
$ \sin{\theta}=k \cos{\theta} , \cos{\theta}=k\tan{\theta} , \tan{\theta}=k\sin{\theta} $となるkが存在する。
1つめの式より$k=\tan{\theta} $となるからこれを3つめの式に代入すると
$\tan{\theta}=\tan{\theta}\sin{\theta} $
つまり$ \tan{\theta}=0 $または$ \sin{\theta}=1 $
しかし
$\tan{\theta}=0 $のとき2つめの式が1=0となる。
$\sin{\theta}=1 $のとき1つめの式が1=0となる。(cosθ≠0にも反する）
どちらも矛盾。
よって等号は成立しない。