上野竜生です。問74の答えを発表します。
問74 ★
面積が2である三角形ABCがある。
辺ABを7等分し，Aから順番に\( A , P_1, P_2, P_3, P_4, P_5, P_6 , B \)とする。
辺BCを7等分し，Bから順番に\( B , Q_1, Q_2, Q_3, Q_4, Q_5, Q_6 , C \)とする。
辺CAを7等分し，Cから順番に\( C , R_1, R_2, R_3, R_4, R_5, R_6 , A \)とする。
赤青黄3つのサイコロを投げ，赤の目をa,青の目をb,黄の目をcとする。
このとき三角形\( P_a Q_b R_c \)の面積が1以下になる確率を求めよ。
ただし必要ならば次の不等式を用いてよい。
\( (a+b+c)^2 \geq 3(ab+bc+ca) \)・・・(*)
答え
三角形\( AP_a R_c \)の面積は\(\displaystyle 2 \cdot \frac{a}{7} \cdot \frac{7-c}{7} = \frac{2a(7-c)}{49} \)
同様に三角形\( BQ_b P_a \)の面積は\(\displaystyle 2 \cdot \frac{b}{7} \cdot \frac{7-a}{7} = \frac{2b(7-a)}{49} \)
三角形\( CR_c Q_b \)の面積は\(\displaystyle 2 \cdot \frac{c}{7} \cdot \frac{7-b}{7} = \frac{2c(7-b)}{49} \)
よって三角形\( P_a Q_b R_c \)の面積は三角形ABCの面積からこれら3つの三角形の面積を引いて
\(\displaystyle 2-\frac{2a(7-c)}{49}-\frac{2b(7-a)}{49}-\frac{2c(7-b)}{49} \)
これが1以下になればいいから
\(\displaystyle 2-\frac{2a(7-c)}{49}-\frac{2b(7-a)}{49}-\frac{2c(7-b)}{49} \leq 1 \)
\(\displaystyle \frac{2a(7-c)}{49}+\frac{2b(7-a)}{49}+\frac{2c(7-b)}{49} \geq 1 \)
\( 2a(7-c)+2b(7-a)+2c(7-b) \geq 49 \)
\( 14(a+b+c)-2(ab+bc+ca) \geq 49 \)・・・(**)であることが必要十分。
a,b,cはサイコロの目だから3≦a+b+c≦18である。
a+b+c=3,4のとき
(a,b,c)=(1,1,1),(2,1,1),(1,2,1),(1,1,2)はすべて(**)を満たさない。
同様にa+b+c=17,18のとき
(a,b,c)=(6,6,6),(5,6,6),(6,5,6),(6,6,5)はすべて(**)を満たさない。
5≦a+b+c≦16のときA=a+b+cとおくと(*)より
\( 14(a+b+c)-2(ab+bc+ca)\\ \geq 14(a+b+c)-\frac{2}{3}(a+b+c)^2 \\ = -\frac{2}{3}A^2 + 14A \\ \displaystyle = -\frac{2}{3}(A-\frac{21}{2})^2 + \frac{441}{6} \\ \displaystyle \geq -\frac{2}{3}(5-\frac{21}{2})^2 +\frac{441}{6} \\ = \displaystyle \frac{160}{3} > 49 \)
となるからすべて(**)を満たす。
サイコロの目の出方63=216通りのうち，(**)を満たさないのは8通りだから(**)を満たすのは216-8=208通り。
よって求める確率は\(\displaystyle \frac{208}{216}=\frac{26}{27} \)
\( (a+b+c)^2 \geq 3(ab+bc+ca) \)の証明
(左辺)-(右辺)≧0を示す。
\( a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca \\ = \frac{1}{2} \{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \} \\ \geq 0 \)
正解者：0名
解説を読んで数学がわかった「つもり」になりましたか？数学は読んでいるうちはわかったつもりになりますが演習をこなさないと実力になりません。そのためには問題集で問題を解く練習も必要です。オススメの参考書を厳選しました
<高校数学>上野竜生です。数学のオススメ参考書などをよく聞かれますのでここにまとめておきます。基本的にはたくさん買うよりも…
上野竜生です。大学数学の参考書をまとめてみました。フーリエ解析以外は自分が使ったことある本から選びました。 大…
上野竜生です。当サイトでも少し前まで各ページで学習サイトをオススメしていましたが他にもオススメできるサイトはた…
