今週の問題　問64　答え

第1式の左辺を加法定理で展開すると
\(\cos{x}\cos{y}-\sin{x}\sin{y}=\cos{x}\cos{y} \)となるので
\(\sin{x}\sin{y}=0 \)
よって\(\sin{x}=0 \)または\(\sin{y}=0 \)
つまりx=0またはx=πまたはy=0またはy=π
第2式の右辺は0なので
\(\cos{(x^2+y^2)}=0 \)つまり
\(\displaystyle x^2+y^2= \frac{(2n-1)\pi}{2} \)・・・①
\( (x,y)=(0,0),(\pi,\pi),(0,\pi),(\pi,0) \)は①を満たさない。

x=0のとき①より
\(\displaystyle y^2=\frac{(2n-1)\pi}{2} \)
\(0 \leq y < 2\pi \)より\( 0 \leq y^2 < 4\pi^2 \)
∴\(\displaystyle \frac{1}{2}≦n<4\pi + \frac{1}{2} \)なので
1≦n≦13の13組解が存在する。
y=0のときも同様に13組存在する。

x=πのとき①より
\(\displaystyle  y^2 =\frac{(2n-1)\pi}{2}-\pi^2 \)
∴\(\displaystyle \pi + \frac{1}{2} \leq n < 5\pi+\frac{1}{2} \)
4≦n≦16の13組解が存在する。
y=πのときも同様に13組存在する。

以上より解は全部で52個。