上野竜生です。問46の答えを発表します。
問46 ★
\( f(x)=x^2 e^x \)とする。サイコロをn回投げて出た目の和をNとし、f(x)をxでN回微分した関数をf(N)(x)とする。
f(N)(0)が3の倍数になる確率pn(n≧1)求めよ。
（注）サイコロはどの目が出る確率も等しいものとする。
答え
\( f^{(N)}(x)=(x^2+2Nx+N(N-1))e^x \)であることを数学的帰納法で示す。
N=1のとき\(f'(x)=(x^2+2x)e^x \)より成立。
N=kで成立すると仮定するとN=k+1のとき
\( f^{(k+1)}(x)=\{f^{(k)}(x) \}'= \{(x^2+2kx+k(k-1))e^x \}' \\
=(x^2+ 2kx+ k(k-1) + 2x + 2k)e^x \\
=(x^2+ 2(k+1)x + (k+1)k )e^x \)となるので
N=k+1のときも成立。
よってf(N)(0)=N(N-1)である。
Nが3の倍数のときf(N)(0)は3の倍数。
Nを3で割った余りが1のときf(N)(0)は3の倍数。
Nを3で割った余りが2のときf(N)(0)は3の倍数ではない。
よって求める確率はNを3で割った余りが0または1になる確率である。
\(p_1=\frac{2}{3} \)
\(p_{n+1}=\frac{2}{3} p_n + \frac{2}{3} (1-p_n) = \frac{2}{3} \)
より\( p_n=\frac{2}{3} \)
正解者 2名（kuheiya さま・古春 さま）
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