今週の問題　問45　答え｜数学の偏差値を上げて合格を目指す

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上野竜生です。問45の答えを発表します。

問45　★

数列{a_n}は次の漸化式を満たす。
・$a_1=100, a_2=200 $
・$(n+2)a_{n+2}+(n+1)a_{n+1}+na_n =0 (n \geq 1)$
a_nが整数となるような最大の自然数nを求めよ。

答え

$ b_n = na_n $とおくと$b_1=100 , b_2=400 $
$b_{n+2}+b_{n+1}+b_n=0 $・・・①
①より$b_{n+3}+b_{n+2}+b_{n+1}=0 $・・・②が成り立つ。
②－①より$ b_{n+3}=b_n $が成り立ち、周期3で繰り返す。
①より$b_3=-500$なのでb_nの一般項は
nを3で割った余りが1のとき$b_n=100 $
nを3で割った余りが2のとき$b_n=400 $
nが3の倍数のとき$b_n=-500$
よって一般項a_nは
nを3で割った余りが1のとき$a_n=\frac{100}{n} $
nを3で割った余りが2のとき$a_n=\frac{400}{n} $
nが3の倍数のとき$a_n=-\frac{500}{n}$
これが整数になるnを探す。
nが3の倍数のときは500が3の倍数でないので$a_n=-\frac{500}{n}$は整数にはならない。
nを3割った余りが2のときnが400の約数ならばa_nは整数になる。
n=400は3で割った余りが2でないので不適。n=200が最大である。
nを3で割った余りが1のときnが100の約数ならばa_nは整数になる。n=100が最大。
以上より条件を満たす最大のnはn=200