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上野竜生です。問33の答えを発表します。
問33 ★
面積が8の正八角形の8つの頂点から無作為に3つを選んで三角形をつくるとき、その三角形の面積が2となる確率を求めよ。
答え
8個の頂点から3つの頂点を選ぶやり方は8C3=56通り。
できる三角形の種類は次の5通り。
①×8 ②×16 ③×16 ④×8 ⑤×8個
①の面積をa,②の面積をb，③の面積をcとする。
するとa+b+c=4である。
a+bは下の図の部分なので面積は2である。
よってc=2
また①と②は底辺（共通辺を底辺とみる）が同じで高さは②のほうが高いので
a<b
ゆえに0<a<1 , 1<b<2
①の面積はa<1なので2ではない。
②の面積はb<2なので2ではない。
③の面積はc=2なので2である。
④の面積は4-2a>2なので2ではない。
⑤の面積は8-3a-2b=8-2(a+b)-a=8-4-a=4-a>3なので2ではない。
面積が2になる三角形は③のみである。
よって求める確率は\(\displaystyle \frac{16}{56}=\frac{2}{7} \)
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